論文の概要: Improved Finite-Particle Convergence Rates for Stein Variational Gradient Descent
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.08469v1
- Date: Fri, 13 Sep 2024 01:49:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-16 18:07:55.070918
- Title: Improved Finite-Particle Convergence Rates for Stein Variational Gradient Descent
- Title（参考訳）: 有限粒子収束率の向上による結晶粒径変化の抑制
- Authors: Krishnakumar Balasubramanian, Sayan Banerjee, Promit Ghosal,
- Abstract要約: 我々は,Kernel Stein Discrepancy (mathsfKSD$) と Wasserstein-2 測定値において,Stein Variational Gradient Descent アルゴリズムに対して有限粒子収束率を与える。
我々の重要な洞察は、N$粒子位置の接合密度の間の相対エントロピーの時間微分が、N$負の値に比例して$N$と期待される$mathsfKSD2$とより小さい正の値に分裂する、という観察である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.890609936348277
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We provide finite-particle convergence rates for the Stein Variational Gradient Descent (SVGD) algorithm in the Kernel Stein Discrepancy ($\mathsf{KSD}$) and Wasserstein-2 metrics. Our key insight is the observation that the time derivative of the relative entropy between the joint density of $N$ particle locations and the $N$-fold product target measure, starting from a regular initial distribution, splits into a dominant `negative part' proportional to $N$ times the expected $\mathsf{KSD}^2$ and a smaller `positive part'. This observation leads to $\mathsf{KSD}$ rates of order $1/\sqrt{N}$, providing a near optimal double exponential improvement over the recent result by~\cite{shi2024finite}. Under mild assumptions on the kernel and potential, these bounds also grow linearly in the dimension $d$. By adding a bilinear component to the kernel, the above approach is used to further obtain Wasserstein-2 convergence. For the case of `bilinear + Mat\'ern' kernels, we derive Wasserstein-2 rates that exhibit a curse-of-dimensionality similar to the i.i.d. setting. We also obtain marginal convergence and long-time propagation of chaos results for the time-averaged particle laws.
- Abstract（参考訳）: Kernel Stein Discrepancy (\mathsf{KSD}$) および Wasserstein-2 測定値において、Stein Variational Gradient Descent (SVGD) アルゴリズムに対して有限粒子収束率を与える。
我々の重要な洞察は、N$粒子位置の結合密度とN$の積目標測度との間の相対エントロピーの時間微分が、通常の初期分布から始まり、予測される$\mathsf{KSD}^2$とより小さい「正の部」に比例する支配的な「負の部」に分裂する、という観察である。
この観測により、$\mathsf{KSD}$ 次数 1/\sqrt{N}$ となり、最近の結果から~\cite{shi2024finite} にほぼ最適な2倍指数的改善をもたらす。
核とポテンシャルに関する穏やかな仮定の下で、これらの境界は次元$d$で線型に成長する。
カーネルに双線型成分を加えることにより、上述のアプローチはワッサーシュタイン-2収束をさらに獲得するために用いられる。
Bilinear + Mat\'ern' カーネルの場合、i.d. の設定と似た次元の呪いを示す Wasserstein-2 レートを導出する。
また, 時間平均粒子法則に対して, カオス結果の限界収束と長期伝播を求める。
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