論文の概要: Optimal convergence rates in trace distance and relative entropy for the quantum central limit theorem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.21998v1
• Date: Tue, 29 Oct 2024 12:35:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-30 13:40:08.766124
• Title: Optimal convergence rates in trace distance and relative entropy for the quantum central limit theorem
• Title（参考訳）: 量子中心極限定理に対するトレース距離と相対エントロピーの最適収束速度
• Authors: Salman Beigi, Milad M. Goodarzi, Hami Mehrabi,
• Abstract要約: 有限第三次モーメントを持つ中心の$m$モード量子状態に対して、$rhoboxplus n$ と $rho_G$ のトレース距離が $mathcalO(n-1/2)$ の最適速度で崩壊することを示す。 有限四階モーメントを持つ状態に対しては、$rhoboxplus n$と$rho_G$の間の相対エントロピーが$mathcalO(n-1)$の最適速度で崩壊することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.7855886538423182
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• Abstract: A quantum analogue of the Central Limit Theorem (CLT), first introduced by Cushen and Hudson (1971), states that the $n$-fold convolution $\rho^{\boxplus n}$ of an $m$-mode quantum state $\rho$ with zero first moments and finite second moments converges weakly, as $n$ increases, to a Gaussian state $\rho_G$ with the same first and second moments. Recently, this result has been extended with estimates of the convergence rate in various distance measures. In this paper, we establish optimal rates of convergence in both the trace distance and quantum relative entropy. Specifically, we show that for a centered $m$-mode quantum state with finite third-order moments, the trace distance between $\rho^{\boxplus n}$ and $\rho_G$ decays at the optimal rate of $\mathcal{O}(n^{-1/2})$, consistent with known convergence rates. Furthermore, for states with finite fourth-order moments (plus a small correction $\delta$ for $m>1$), we prove that the relative entropy between $\rho^{\boxplus n}$ and $\rho_G$ decays at the optimal rate of $\mathcal{O}(n^{-1})$. Both of these rates are proven to be optimal, even when assuming the finiteness of all moments of $\rho$. These results relax previous assumptions on higher-order moments, yielding convergence rates that match the best known results in the classical setting. Our proofs draw on techniques from the classical literature, including Edgeworth-type expansions of quantum characteristic functions, adapted to the quantum context. A key technical step in the proof of our entropic CLT is establishing an upper bound on the relative entropy distance between a general quantum state and its Gaussification. As a by-product of this, an upper bound on the relative entropy of non-Gaussianity is derived, which is of independent interest.
• Abstract（参考訳）: 中央極限定理 (CLT) の量子アナログは、Cushen と Hudson (1971) によって初めて導入されたもので、$n$-fold convolution $\rho^{\boxplus n}$ of a $m$-mode quantum state $\rho$ with zero first moments and finite second moments is weakly converges as $n$ increase, to a Gaussian state $\rho_G$ with the same first moments and second moments である。 近年,様々な距離測度における収束率の推定値により,この結果が拡張されている。 本稿では、トレース距離と量子相対エントロピーの両方において最適収束率を確立する。 具体的には、有限の3階のモーデ量子状態を持つ中心の$m$モード状態に対して、$\rho^{\boxplus n}$と$\rho_G$$の軌道距離は、既知の収束率と一致する$\mathcal{O}(n^{-1/2})$の最適速度で崩壊することを示す。 さらに、有限四階数モーメントを持つ状態(および$m>1$に対する小さな補正$\delta$)に対して、$\rho^{\boxplus n}$と$\rho_G$$の相対エントロピーが$\mathcal{O}(n^{-1})$の最適速度で崩壊することを証明する。 どちらも、$\rho$のすべてのモーメントの有限性を仮定しても、最適であることが証明されている。 これらの結果は、高次モーメントに関する以前の仮定を緩和し、古典的な設定において最もよく知られた結果と一致する収束率をもたらす。 我々の証明は、量子的文脈に適応したエッジワース型量子特性関数の拡張を含む古典文学の技法に基づく。 エントロピー CLT の証明における重要な技術的ステップは、一般量子状態とガウス化の間の相対エントロピー距離の上限を確立することである。 この副産物として、非ガウス性の相対エントロピー上の上限が導出され、これは独立な興味を持つ。

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