論文の概要: Approximate Degrees of Multisymmetric Properties with Application to Quantum Claw Detection

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.02243v1
• Date: Thu, 3 Oct 2024 06:32:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-11-04 07:46:05.666306
• Title: Approximate Degrees of Multisymmetric Properties with Application to Quantum Claw Detection
• Title（参考訳）: 多対称特性の近似値と量子爪検出への応用
• Authors: Seiichiro Tani,
• Abstract要約: この問題の最適量子複雑性は$Omegaleft(sqrtG+(FG)1/6M1/6right)$ for input function $fcolon [F] to Z$ and $gcolon [G] to Z$であることが知られている。 現在の論文は、下界が$|Z|=Omega(FG)$のすべての小さな範囲$Z$に対してさえも成り立つことを証明している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The claw problem is central in the fields of theoretical computer science as well as cryptography. The optimal quantum query complexity of the problem is known to be $\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$ for input functions $f\colon [F]\to Z$ and $g\colon [G]\to Z$. However, the lower bound was proved when the range $Z$ is sufficiently large (i.e., $|{Z}|=\Omega(FG)$). The current paper proves the lower bound holds even for every smaller range $Z$ with $|{Z}|\ge F+G$. This implies that $\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$ is tight for every such range. In addition, the lower bound $\Omega\left(\sqrt{G}+F^{1/3}G^{1/6}M^{1/6}\right)$ is provided for even smaller range $Z=[M]$ with every $M\in [2,F+G]$ by reducing the claw problem for $|{Z}|= F+G$. The proof technique is general enough to apply to any $k$-symmetric property (e.g., the $k$-claw problem), i.e., the Boolean function $\Phi$ on the set of $k$ functions with different-size domains and a common range such that $\Phi$ is invariant under the permutations over each domain and the permutations over the range. More concretely, it generalizes Ambainis's argument [Theory of Computing, 1(1):37-46] to the multiple-function case by using the notion of multisymmetric polynomials.
• Abstract（参考訳）: 爪問題は、理論計算機科学と暗号の分野において中心的な問題である。 この問題の最適量子クエリ複雑性は、入力関数 $f\colon [F]\to Z$ と $g\colon [G]\to Z$ に対して $\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$ であることが知られている。 しかし、下界は、$Z$が十分大きいときに証明された(つまり、$|{Z}|=\Omega(FG)$)。 現在の論文は、下界が$|{Z}|\ge F+G$ を持つすべての小さな範囲$Z$に対してさえも成り立つことを証明している。 これは、$\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$がすべてのそのような範囲に対して厳密であることを意味する。 さらに、下限の$\Omega\left(\sqrt{G}+F^{1/3}G^{1/6}M^{1/6}\right)$は、すべての$M\in [2,F+G]$のより小さな範囲$Z=[M]$に対して、|{Z}|=F+G$の爪問題を減らして提供される。 証明技法は、任意の$k$対称性(例えば、$k$-claw 問題)、すなわち、異なるサイズの領域を持つ$k$関数の集合上のブール関数 $\Phi$ と、各領域上の置換と範囲上の置換の下で$\Phi$ が不変であるような共通範囲に適用できる。 より具体的には、多対称多項式の概念を用いて、アンバイニスの議論(計算理論、1(1):37-46)を多重函数のケースに一般化する。

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