論文の概要: Fourier PINNs: From Strong Boundary Conditions to Adaptive Fourier Bases
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.03496v1
- Date: Fri, 4 Oct 2024 15:10:22 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-02 21:50:00.760247
- Title: Fourier PINNs: From Strong Boundary Conditions to Adaptive Fourier Bases
- Title（参考訳）: Fourier PINN: 強い境界条件から適応的なFourierベースへ
- Authors: Madison Cooley, Varun Shankar, Robert M. Kirby, Shandian Zhe,
- Abstract要約: 我々は,Dirichlet BCs に対する PINN の強い境界条件 (BC) について検討した。
強いBC PINNは、ターゲット溶液の高周波成分の振幅をよりよく学習できることがわかった。
本稿では,Fourier PINN を提案する。Fourier PINN は単純で汎用的で強力な手法で,Purier PINN を事前定義された高密度なフーリエベースで拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.689531776611084
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Interest is rising in Physics-Informed Neural Networks (PINNs) as a mesh-free alternative to traditional numerical solvers for partial differential equations (PDEs). However, PINNs often struggle to learn high-frequency and multi-scale target solutions. To tackle this problem, we first study a strong Boundary Condition (BC) version of PINNs for Dirichlet BCs and observe a consistent decline in relative error compared to the standard PINNs. We then perform a theoretical analysis based on the Fourier transform and convolution theorem. We find that strong BC PINNs can better learn the amplitudes of high-frequency components of the target solutions. However, constructing the architecture for strong BC PINNs is difficult for many BCs and domain geometries. Enlightened by our theoretical analysis, we propose Fourier PINNs -- a simple, general, yet powerful method that augments PINNs with pre-specified, dense Fourier bases. Our proposed architecture likewise learns high-frequency components better but places no restrictions on the particular BCs or problem domains. We develop an adaptive learning and basis selection algorithm via alternating neural net basis optimization, Fourier and neural net basis coefficient estimation, and coefficient truncation. This scheme can flexibly identify the significant frequencies while weakening the nominal frequencies to better capture the target solution's power spectrum. We show the advantage of our approach through a set of systematic experiments.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の従来の数値解法に代わるメッシュフリーの代替として、物理情報ニューラルネットワーク(PINN)への関心が高まっている。
しかし、PINNは高頻度でマルチスケールなターゲットソリューションを学ぶのに苦労することが多い。
この問題に対処するために,我々はまず,ディリクレ BC に対する PINN の強い境界条件 (BC) について検討し,標準 PINN と比較して相対誤差が一貫した減少を観察する。
次にフーリエ変換と畳み込み定理に基づく理論的解析を行う。
強いBC PINNは、ターゲット溶液の高周波成分の振幅をよりよく学習できることがわかった。
しかし、強力なBC PINNのアーキテクチャを構築することは、多くのBCやドメインのジオメトリにとって困難である。
理論解析により,Fourier PINN を提案する。Fourier PINN は単純で汎用的で強力な手法で,あらかじめ特定された密度の高いFourier ベースで PINN を増強する。
提案アーキテクチャも同様に高周波成分を学習するが、特定のBCや問題領域に制限はない。
本研究では,ニューラルネットベース最適化,フーリエとニューラルネットベースベース推定,係数切り抜きによる適応学習とベース選択アルゴリズムを開発した。
このスキームは、高い周波数を柔軟に識別し、名目周波数を弱め、ターゲットの溶液のパワースペクトルをよりよく捉えることができる。
我々は,一連の系統的な実験を通じて,アプローチの利点を示す。
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