Fugu-MT 論文翻訳(概要): Characterizing Quantum Codes via the Coefficients in Knill-Laflamme Conditions

論文の概要: Characterizing Quantum Codes via the Coefficients in Knill-Laflamme Conditions

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.07983v1
Date: Thu, 10 Oct 2024 14:38:15 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-10-31 06:15:07.773778
Title: Characterizing Quantum Codes via the Coefficients in Knill-Laflamme Conditions
Title（参考訳）: Knill-Laflamme条件における係数による量子符号のキャラクタリゼーション
Authors: Mengxin Du, Chao Zhang, Yiu-Tung Poon, Bei Zeng,
Abstract要約: 量子誤り訂正(QEC)は、ノイズに対する量子情報の保護に不可欠である。我々は, Knill-Laflamme (KL) 係数 $lambda_ij$ の構造を条件 $PE_idagger E_j P = lambda_ij P$ から検討する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 3.980076328494117
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Quantum error correction (QEC) is essential for protecting quantum information against noise, yet understanding the structure of the Knill-Laflamme (KL) coefficients $\lambda_{ij}$ from the condition $PE_i^\dagger E_j P = \lambda_{ij} P$ remains challenging, particularly for nonadditive codes. In this work, we introduce the signature vector $\vec{\lambda}(P)$, composed of the off-diagonal KL coefficients $\lambda_{ij}$, where each coefficient corresponds to equivalence classes of errors counted only once. We define its Euclidean norm $\lambda^*(P)$ as a scalar measure representing the total strength of error correlations within the code subspace defined by the projector $P$. We parameterize $P$ on a Stiefel manifold and formulate an optimization problem based on the KL conditions to systematically explore possible values of $\lambda^*$. Moreover, we show that, for $((n,K,d))$ codes, $\lambda^*$ is invariant under local unitary transformations. Applying our approach to the $((6, 2, 3))$ quantum code, we find that $\lambda^*_{\text{min}} = \sqrt{0.6}$ and $\lambda^*_{\text{max}} = 1$, with $\lambda^* = 1$ corresponding to a known degenerate stabilizer code. We construct continuous families of new nonadditive codes parameterized by vectors in $\mathbb{R}^5$, with $\lambda^*$ varying over the interval $[\sqrt{0.6}, 1]$. For the $((7, 2, 3))$ code, we identify $\lambda^*_{\text{min}} = 0$ (corresponding to the non-degenerate Steane code) and $\lambda^*_{\text{max}} = \sqrt{7}$ (corresponding to the permutation-invariant code by Pollatsek and Ruskai), and we demonstrate continuous paths connecting these extremes via cyclic codes characterized solely by $\lambda^*$. Our findings provide new insights into the structure of quantum codes, advance the theoretical foundations of QEC, and open new avenues for investigating intricate relationships between code subspaces and error correlations.
Abstract（参考訳）: 量子誤り訂正(QEC)は、ノイズから量子情報を保護するのに不可欠であるが、特に非加法符号に対しては、条件 $PE_i^\dagger E_j P = \lambda_{ij} P$ から Knill-Laflamme (KL) 係数 $\lambda_{ij}$ の構造を理解することは困難である。本研究では、オフ対角KL係数$\lambda_{ij}$からなるシグネチャベクトル $\vec{\lambda}(P)$を導入し、各係数は1回だけ数えられる誤差の同値類に対応する。我々は、そのユークリッドノルム $\lambda^*(P)$ を、プロジェクタ$P$によって定義されたコードサブスペース内のエラー相関の総強度を表すスカラー測度として定義する。我々は、スティーフェル多様体上で$P$をパラメータ化し、KL条件に基づいて最適化問題を定式化し、$\lambda^*$の可能な値を体系的に探索する。さらに、$((n,K,d))$符号の場合、$\lambda^*$は局所ユニタリ変換の下で不変であることを示す。量子符号の $((6, 2, 3) へのアプローチを適用すると、既知の退化安定化符号に対応する $\lambda^*_{\text{min}} = \sqrt{0.6}$ と $\lambda^*_{\text{max}} = 1$ が現れる。我々は、$\mathbb{R}^5$, $\lambda^*$ を区間 $[\sqrt{0.6}, 1]$ のベクトルでパラメータ化した新しい非加法符号の連続族を構成する。 for the $((7, 2, 3)$ code, we identified $\lambda^*_{\text{min}} = 0$ (非退化Steane codeに対応する) and $\lambda^*_{\text{max}} = \sqrt{7}$ (Polatsek と Ruskai による置換不変コードに対応する)。本研究は,量子コードの構造に関する新たな知見を提供し,QECの理論的基礎を推し進めるとともに,符号部分空間と誤り相関の複雑な関係を解明するための新たな道を開いた。

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