論文の概要: Robust Low-rank Tensor Train Recovery
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.15224v1
- Date: Sat, 19 Oct 2024 21:59:50 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-22 13:15:44.509286
- Title: Robust Low-rank Tensor Train Recovery
- Title（参考訳）: ロバスト低ランクテンソルトレインリカバリ
- Authors: Zhen Qin, Zhihui Zhu,
- Abstract要約: train (TT) 分解は、小さな次元の行列を$O(N)$を使用する$N$のテンソルを表す。
そのコンパクトな表現のため、TT分解は信号処理や量子情報に広く応用されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 27.29463801531576
- License:
- Abstract: Tensor train (TT) decomposition represents an $N$-order tensor using $O(N)$ matrices (i.e., factors) of small dimensions, achieved through products among these factors. Due to its compact representation, TT decomposition has found wide applications, including various tensor recovery problems in signal processing and quantum information. In this paper, we study the problem of reconstructing a TT format tensor from measurements that are contaminated by outliers with arbitrary values. Given the vulnerability of smooth formulations to corruptions, we use an $\ell_1$ loss function to enhance robustness against outliers. We first establish the $\ell_1/\ell_2$-restricted isometry property (RIP) for Gaussian measurement operators, demonstrating that the information in the TT format tensor can be preserved using a number of measurements that grows linearly with $N$. We also prove the sharpness property for the $\ell_1$ loss function optimized over TT format tensors. Building on the $\ell_1/\ell_2$-RIP and sharpness property, we then propose two complementary methods to recover the TT format tensor from the corrupted measurements: the projected subgradient method (PSubGM), which optimizes over the entire tensor, and the factorized Riemannian subgradient method (FRSubGM), which optimizes directly over the factors. Compared to PSubGM, the factorized approach FRSubGM significantly reduces the memory cost at the expense of a slightly slower convergence rate. Nevertheless, we show that both methods, with diminishing step sizes, converge linearly to the ground-truth tensor given an appropriate initialization, which can be obtained by a truncated spectral method.
- Abstract（参考訳）: テンソルトレイン(TT)分解は、これらの因子のうちの積によって達成される小さな次元の行列(すなわち因子)を用いて、$N$のテンソルを表す。
そのコンパクトな表現のため、TT分解は信号処理や量子情報における様々なテンソル回復問題を含む幅広い応用を見出した。
本稿では,任意の値を持つ外れ値によって汚染された測定値からTTフォーマットテンソルを再構成する問題について検討する。
汚職に対するスムーズな定式化の脆弱性を考えると、出力値に対する堅牢性を高めるために$\ell_1$ロス関数を使用します。
まず、ガウス測度演算子に対する$\ell_1/\ell_2$-restricted isometry property (RIP) を確立し、TT形式テンソルの情報は、$N$で線形に成長する多くの測定値を用いて保存可能であることを示した。
また、TTフォーマットテンソルに最適化された$\ell_1$ロス関数のシャープネス特性も証明する。
次に, シャープネス特性と $\ell_1/\ell_2$-RIP に基づいて, TT フォーマットテンソルを破損した測定値から復元する2つの相補的手法を提案し, テンソル全体を最適化する射影次数法 (PSubGM) と, 因子を直接最適化する分解リーマン次数法 (FRSubGM) を提案する。
PSubGMと比較して、FRSubGMは若干の収束率を犠牲にしてメモリコストを大幅に削減する。
いずれの手法も, ステップサイズが小さく, 適切に初期化を施した接地トラステンソルに直線的に収束することを示した。
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