論文の概要: Universal graph representation of stabilizer codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.14448v2
- Date: Thu, 19 Dec 2024 03:07:48 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-20 13:27:09.243847
- Title: Universal graph representation of stabilizer codes
- Title（参考訳）: 安定化符号の普遍グラフ表現
- Authors: Andrey Boris Khesin, Jonathan Z. Lu, Peter W. Shor,
- Abstract要約: 半二部グラフとして$[[n, k]]$安定化器符号の表現を導入する。
グラフは特に小さな(漸近的でない)スケールでコードを構築するための柔軟なプラットフォームを提供する、と私たちは主張する。
距離、重み、符号化回路深さなどの鍵符号特性はすべてグラフ次数によって制御される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6385815610837167
- License:
- Abstract: We introduce a representation of $[[n, k]]$ stabilizer codes as semi-bipartite graphs wherein $k$ ``input'' nodes map to $n$ ``output'' nodes, such that output nodes may connect to each other but input nodes may not. We prove that this graph representation is in bijection with tableaus and give an efficient compilation algorithm that transforms tableaus into graphs. We then show that this map is efficiently invertible, which gives a new universal recipe for code construction by way of finding graphs with sufficiently nice properties. The graph representation gives insight into both code construction and algorithms. To the former, we argue that graphs provide a flexible platform for building codes particularly at smaller (non-asymptotic) scales. We construct as examples constant-size codes, e.g. a $[[54, 6, 5]]$ code and a family of roughly $[[n, \frac{n}{\log n}, \log n]]$ codes. We also leverage graphs in a probabilistic analysis to extend the quantum Gilbert-Varshamov bound into a three-way distance-rate-weight tradeoff. To the latter, we show that key coding algorithms -- distance approximation, weight reduction, and decoding -- are unified as instances of a single optimization game on a graph. Moreover, key code properties such as distance, weight, and encoding circuit depth, are all controlled by the graph degree. We give efficient algorithms for producing simple encoding circuits whose depths scale as twice the degree and for implementing logical diagonal and certain Clifford gates with non-constant but reduced depth. Finally, we construct a simple efficient decoding algorithm and prove a performance guarantee for a certain class of graphs, including the roughly $[[n, \frac{n}{\log n}, \log n]]$ code. These results give evidence that graphs are generically useful for the study of stabilizer codes and their practical implementations.
- Abstract（参考訳）: ここでは、$k$ ``input''ノードを$n$ ``output''ノードにマップし、出力ノードが互いに接続するが、入力ノードは接続しない。
このグラフ表現がテーブルーと双対関係にあることを証明し、グラフーをグラフに変換する効率的なコンパイルアルゴリズムを提供する。
そして、この写像が効率よく可逆であることを示し、十分に優れた性質を持つグラフを見つける方法により、コード構築のための新しい普遍的なレシピを提供する。
グラフ表現は、コード構築とアルゴリズムの両方について洞察を与える。
前者には、グラフは特に小さな(漸近的でない)スケールでコードを構築するための柔軟なプラットフォームを提供する、と論じる。
例えば、e g a $[[54, 6, 5]]$コードと、およそ$[[n, \frac{n}{\log n}, \log n]]$コードである。
また、確率論的解析においてグラフを活用して、量子ギルバート=バルシャモフ境界を3方向距離-レート-重み付きトレードオフに拡張する。
後者では、距離近似、減量、復号化といった鍵符号化アルゴリズムが、グラフ上の1つの最適化ゲームのインスタンスとして統一されていることを示す。
さらに、距離、重み、符号化回路深さなどの鍵符号特性は全てグラフ次数によって制御される。
深度を2倍にスケールする単純な符号化回路を効率よく生成し,非定常だが深度を低減した論理対角ゲートと特定のクリフォードゲートを実装するアルゴリズムを提案する。
最後に、簡単な効率的な復号アルゴリズムを構築し、大まかに$[[n, \frac{n}{\log n}, \log n]]$コードを含むグラフのある種の性能を保証する。
これらの結果は、グラフが安定化器符号とその実践的実装の研究に一般的に有用であることを示す。
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