論文の概要: PACMANN: Point Adaptive Collocation Method for Artificial Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.19632v1
• Date: Fri, 29 Nov 2024 11:31:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-02 15:18:19.570986
• Title: PACMANN: Point Adaptive Collocation Method for Artificial Neural Networks
• Title（参考訳）: PACMANN: ニューラルネットワークのための点適応コロケーション法
• Authors: Coen Visser, Alexander Heinlein, Bianca Giovanardi,
• Abstract要約: PINNは、一組のコロケーションポイントに対して決定されたPDE残差を含む損失関数を最小化する。 これまでの研究では、これらのコロケーションポイントの数と分布がPINNソリューションの精度に大きな影響を与えることが示されている。 ニューラルネットワーク(PACMANN)のための点適応コロケーション法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.99833362998488
• License:
• Abstract: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) are an emerging tool for approximating the solution of Partial Differential Equations (PDEs) in both forward and inverse problems. PINNs minimize a loss function which includes the PDE residual determined for a set of collocation points. Previous work has shown that the number and distribution of these collocation points have a significant influence on the accuracy of the PINN solution. Therefore, the effective placement of these collocation points is an active area of research. Specifically, adaptive collocation point sampling methods have been proposed, which have been reported to scale poorly to higher dimensions. In this work, we address this issue and present the Point Adaptive Collocation Method for Artificial Neural Networks (PACMANN). Inspired by classic optimization problems, this approach incrementally moves collocation points toward regions of higher residuals using gradient-based optimization algorithms guided by the gradient of the squared residual. We apply PACMANN for forward and inverse problems, and demonstrate that this method matches the performance of state-of-the-art methods in terms of the accuracy/efficiency tradeoff for the low-dimensional problems, while outperforming available approaches for high-dimensional problems; the best performance is observed for the Adam optimizer. Key features of the method include its low computational cost and simplicity of integration in existing physics-informed neural network pipelines.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、偏微分方程式(PDE)の解を前方および逆問題の両方で近似する新しいツールである。 PINNは、一組のコロケーションポイントに対して決定されたPDE残差を含む損失関数を最小化する。 これまでの研究では、これらのコロケーションポイントの数と分布がPINNソリューションの精度に大きな影響を与えることが示されている。 したがって、これらのコロケーションポイントの効果的な配置は研究の活発な領域である。 具体的には, 適応的コロケーション点サンプリング法が提案され, より高次元へのスケールの低下が報告されている。 本稿では,この問題に対処し,PACMANN(Point Adaptive Collocation Method for Artificial Neural Networks)を提案する。 古典的な最適化問題から着想を得たこのアプローチは、二乗残差の勾配によって導かれる勾配に基づく最適化アルゴリズムを用いて、コロケーション点を高次残差の領域へ漸進的に移動させる。 我々は, PACMANN を前方および逆問題に適用し, 低次元問題に対する精度・効率トレードオフの観点からの最先端手法の性能に適合することを示した。 この方法の主な特徴は、計算コストの低減と、既存の物理インフォームドニューラルネットワークパイプラインの統合の簡易化である。

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