論文の概要: Can neural operators always be continuously discretized?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.03393v1
• Date: Wed, 04 Dec 2024 15:22:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-05 15:07:25.540919
• Title: Can neural operators always be continuously discretized?
• Title（参考訳）: ニューラル作用素は常に連続的に離散化できるのか?
• Authors: Takashi Furuya, Michael Puthawala, Maarten V. de Hoop, Matti Lassas,
• Abstract要約: 我々は、スキップ接続を含む一般的なフレームワークにおいて、ヒルベルト空間間のニューラル作用素の離散化の問題を考える。 ビリプシッツニューラル作用素は、常に強い単調ニューラル作用素の交互組成の形で書けることを示す。 また、このタイプのニューラル作用素は有限ランク残留ニューラル作用素の合成によって近似できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.37972671531752
• License:
• Abstract: We consider the problem of discretization of neural operators between Hilbert spaces in a general framework including skip connections. We focus on bijective neural operators through the lens of diffeomorphisms in infinite dimensions. Framed using category theory, we give a no-go theorem that shows that diffeomorphisms between Hilbert spaces or Hilbert manifolds may not admit any continuous approximations by diffeomorphisms on finite-dimensional spaces, even if the approximations are nonlinear. The natural way out is the introduction of strongly monotone diffeomorphisms and layerwise strongly monotone neural operators which have continuous approximations by strongly monotone diffeomorphisms on finite-dimensional spaces. For these, one can guarantee discretization invariance, while ensuring that finite-dimensional approximations converge not only as sequences of functions, but that their representations converge in a suitable sense as well. Finally, we show that bilipschitz neural operators may always be written in the form of an alternating composition of strongly monotone neural operators, plus a simple isometry. Thus we realize a rigorous platform for discretization of a generalization of a neural operator. We also show that neural operators of this type may be approximated through the composition of finite-rank residual neural operators, where each block is strongly monotone, and may be inverted locally via iteration. We conclude by providing a quantitative approximation result for the discretization of general bilipschitz neural operators.
• Abstract（参考訳）: 我々は、スキップ接続を含む一般的なフレームワークにおいて、ヒルベルト空間間のニューラル作用素の離散化の問題を考える。 我々は、無限次元の微分同相のレンズを通して、単射ニューラル作用素に焦点をあてる。 圏論を用いて、ヒルベルト空間とヒルベルト多様体の間の微分同相写像は、たとえ近似が非線形であっても有限次元空間上の微分同相写像による連続近似を認めないことを示すノーゴー定理を与える。 自然な方法は、有限次元空間上の強単トン微分同相写像による連続近似を持つ強単トン微分同相写像と層的に強単トンニューラル作用素の導入である。 これらに対して、有限次元近似が関数の列として収束するだけでなく、それらの表現が適切な意味で収束することを保証しながら、離散化不変性を保証することができる。 最後に、ビリプシッツ神経作用素は、常に強い単調神経作用素の交互合成の形で記述され、単純な等尺性を持つことを示す。 そこで我々は,ニューラル演算子の一般化の離散化のための厳密なプラットフォームを実現する。 また、このタイプのニューラル作用素は、各ブロックが強い単調であり、反復によって局所的に逆転する有限ランク残留ニューラル作用素の合成によって近似されることも示している。 一般のビリプシッツニューラル作用素の離散化に対する定量的な近似結果を提供することで結論付ける。

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