論文の概要: Evolution of Gaussians in the Hellinger-Kantorovich-Boltzmann gradient flow

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.20400v1
• Date: Tue, 29 Apr 2025 03:54:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-02 19:15:54.738774
• Title: Evolution of Gaussians in the Hellinger-Kantorovich-Boltzmann gradient flow
• Title（参考訳）: Hellinger-Kantorovich-Boltzmann勾配流におけるガウスの進化
• Authors: Matthias Liero, Alexander Mielke, Oliver Tse, Jia-Jie Zhu,
• Abstract要約: 我々は、HK-ボルツマン流の下で平均、共分散、質量の進化を支配する明示的な常微分方程式を導出する。 我々は、ポリアック-ロジャシエヴィチ型不等式に付随する勾配構造を構築することにより、平衡への指数収束を示す。 我々は解析をガウス的でないターゲットに拡張し、強い対数ラムダの凹凸を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.500314182711236
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This study leverages the basic insight that the gradient-flow equation associated with the relative Boltzmann entropy, in relation to a Gaussian reference measure within the Hellinger-Kantorovich (HK) geometry, preserves the class of Gaussian measures. This invariance serves as the foundation for constructing a reduced gradient structure on the parameter space characterizing Gaussian densities. We derive explicit ordinary differential equations that govern the evolution of mean, covariance, and mass under the HK-Boltzmann gradient flow. The reduced structure retains the additive form of the HK metric, facilitating a comprehensive analysis of the dynamics involved. We explore the geodesic convexity of the reduced system, revealing that global convexity is confined to the pure transport scenario, while a variant of sublevel semi-convexity is observed in the general case. Furthermore, we demonstrate exponential convergence to equilibrium through Polyak-Lojasiewicz-type inequalities, applicable both globally and on sublevel sets. By monitoring the evolution of covariance eigenvalues, we refine the decay rates associated with convergence. Additionally, we extend our analysis to non-Gaussian targets exhibiting strong log-lambda-concavity, corroborating our theoretical results with numerical experiments that encompass a Gaussian-target gradient flow and a Bayesian logistic regression application.
• Abstract（参考訳）: この研究は、相対ボルツマンエントロピーに付随する勾配流方程式が、ヘルリンガー・カントロヴィチ(HK)幾何学内のガウス基準測度に関連して、ガウス測度のクラスを保存するという基本的な知見を利用する。 この不変性はガウス密度を特徴づけるパラメータ空間上の縮小勾配構造を構築する基盤となる。 我々は、平均、共分散、質量の進化をHK-ボルツマン勾配流の下で支配する明示的な常微分方程式を導出する。 縮小構造はHK計量の加法形式を保持し、関連する力学の包括的解析を容易にする。 縮退系の測地的凸性について検討し、大域的凸性は純粋な輸送シナリオに限定されていることを明らかにし、一般の場合では下層半凸性の変種が観察される。 さらに、Polyak-Lojasiewicz型不等式による平衡への指数収束を示す。 共分散固有値の進化をモニタリングすることにより、収束に伴う減衰率を改良する。 さらに,ガウスの対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数対数法を含む数値実験により,解析結果を近似する。

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