論文の概要: Fisher-Rao Gradient Flow: Geodesic Convexity and Functional Inequalities
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.15693v1
- Date: Mon, 22 Jul 2024 15:00:14 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-24 21:54:39.971998
- Title: Fisher-Rao Gradient Flow: Geodesic Convexity and Functional Inequalities
- Title（参考訳）: Fisher-Rao Gradient Flow:測地的凸性と関数的不等式
- Authors: José A. Carrillo, Yifan Chen, Daniel Zhengyu Huang, Jiaoyang Huang, Dongyi Wei,
- Abstract要約: 最小仮定下でのフィッシャー・ラオ勾配流の関数的不等式とそれに関連する測地的凸性について検討する。
得られた機能的不等式の特徴は、ターゲット分布の対数凹度や対数ソボレフ定数に依存しない点である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.099783891532113
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The dynamics of probability density functions has been extensively studied in science and engineering to understand physical phenomena and facilitate algorithmic design. Of particular interest are dynamics that can be formulated as gradient flows of energy functionals under the Wasserstein metric. The development of functional inequalities, such as the log-Sobolev inequality, plays a pivotal role in analyzing the convergence of these dynamics. The goal of this paper is to parallel the success of techniques using functional inequalities, for dynamics that are gradient flows under the Fisher-Rao metric, with various $f$-divergences as energy functionals. Such dynamics take the form of a nonlocal differential equation, for which existing analysis critically relies on using the explicit solution formula in special cases. We provide a comprehensive study on functional inequalities and the relevant geodesic convexity for Fisher-Rao gradient flows under minimal assumptions. A notable feature of the obtained functional inequalities is that they do not depend on the log-concavity or log-Sobolev constants of the target distribution. Consequently, the convergence rate of the dynamics (assuming well-posed) is uniform across general target distributions, making them potentially desirable dynamics for posterior sampling applications in Bayesian inference.
- Abstract（参考訳）: 確率密度関数のダイナミクスは、物理現象を理解しアルゴリズム設計を促進するために、科学と工学で広く研究されている。
特に興味深いのは、ワッサーシュタイン計量の下でエネルギー汎函数の勾配流として定式化できる力学である。
対数ソボレフの不等式のような機能的不等式の発展は、これらのダイナミクスの収束を分析する上で重要な役割を果たす。
本研究の目的は,Fisher-Rao 計量の下での勾配流である動力学において,エネルギー汎関数として様々な$f$-divergences を用いる機能的不等式を用いた手法の成功を並列化することである。
そのような力学は非局所微分方程式の形をとり、既存の解析は特別な場合において明示的な解公式を使うことに批判的に依存する。
最小の仮定の下でのフィッシャー・ラオ勾配流の関数的不等式とそれに関連する測地的凸性について包括的に研究する。
得られた機能的不等式の特徴は、ターゲット分布の対数凹度や対数ソボレフ定数に依存しない点である。
したがって、(十分に仮定された場合)力学の収束速度は一般目標分布全体にわたって均一であり、ベイズ予想における後続サンプリング応用には潜在的に望ましいダイナミクスとなる。
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