論文の概要: Attainability of Two-Point Testing Rates for Finite-Sample Location Estimation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.05730v1
- Date: Sun, 09 Feb 2025 00:17:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-02-11 14:30:21.779384
- Title: Attainability of Two-Point Testing Rates for Finite-Sample Location Estimation
- Title（参考訳）: 有限サンプル位置推定のための二点試験速度の達成可能性
- Authors: Spencer Compton, Gregory Valiant,
- Abstract要約: LeCamの2点試験法は、分布の平均を推定する最も単純な下界を与える。
本研究では,2点検定の下限を達成できる条件について検討する。
2点検定率は対称な単調分布であってもほぼ達成不可能であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.535770763481906
- License:
- Abstract: LeCam's two-point testing method yields perhaps the simplest lower bound for estimating the mean of a distribution: roughly, if it is impossible to well-distinguish a distribution centered at $\mu$ from the same distribution centered at $\mu+\Delta$, then it is impossible to estimate the mean by better than $\Delta/2$. It is setting-dependent whether or not a nearly matching upper bound is attainable. We study the conditions under which the two-point testing lower bound can be attained for univariate mean estimation; both in the setting of location estimation (where the distribution is known up to translation) and adaptive location estimation (unknown distribution). Roughly, we will say an estimate nearly attains the two-point testing lower bound if it incurs error that is at most polylogarithmically larger than the Hellinger modulus of continuity for $\tilde{\Omega}(n)$ samples. Adaptive location estimation is particularly interesting as some distributions admit much better guarantees than sub-Gaussian rates (e.g. $\operatorname{Unif}(\mu-1,\mu+1)$ permits error $\Theta(\frac{1}{n})$, while the sub-Gaussian rate is $\Theta(\frac{1}{\sqrt{n}})$), yet it is not obvious whether these rates may be adaptively attained by one unified approach. Our main result designs an algorithm that nearly attains the two-point testing rate for mixtures of symmetric, log-concave distributions with a common mean. Moreover, this algorithm runs in near-linear time and is parameter-free. In contrast, we show the two-point testing rate is not nearly attainable even for symmetric, unimodal distributions. We complement this with results for location estimation, showing the two-point testing rate is nearly attainable for unimodal distributions, but unattainable for symmetric distributions.
- Abstract（参考訳）: 概して、$\mu$ を中心とする分布を$\mu+\Delta$ を中心とする同じ分布から適切に区別することは不可能であれば、$\Delta/2$ よりも高く見積もることは不可能である。
ほぼ一致する上界が達成可能であるか否かは、設定依存である。
本研究では,2点検定下限が一変量平均推定に到達できる条件について検討し,位置推定の設定(分布が翻訳で知られている)と適応位置推定(未知分布)について検討した。
大まかに言えば、$\tilde{\Omega}(n)$の連続性のヘルリンガー率よりも最も大きい誤差が生じるとすると、2点検定の下界がほぼ達成される。
適応的位置推定(Adaptive location estimation)は、サブガウスの速度よりもはるかに優れた保証(例: g $\operatorname{Unif}(\mu-1,\mu+1)$ allows error $\Theta(\frac{1}{n})$, 一方、サブガウスの速度は $\Theta(\frac{1}{\sqrt{n}})$)$ である。
本研究の主な成果は、対称な対数凹分布と共通平均の混合の2点試験率をほぼ達成できるアルゴリズムを設計することである。
さらに、このアルゴリズムはほぼ線形時間で動作し、パラメータフリーである。
対照的に、2点検定速度は対称な単調分布であってもほぼ達成不可能であることを示す。
位置推定の結果を補完し、二点検定率は単調分布ではほぼ達成可能であるが、対称分布では達成できないことを示す。
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