論文の概要: A Linearly Convergent Algorithm for Computing the Petz-Augustin Mean
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.06399v2
- Date: Wed, 16 Jul 2025 08:03:27 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-17 14:40:09.242846
- Title: A Linearly Convergent Algorithm for Computing the Petz-Augustin Mean
- Title（参考訳）: Petz-Augustin平均計算のための線形収束アルゴリズム
- Authors: Chun-Neng Chu, Wei-Fu Tseng, Yen-Huan Li,
- Abstract要約: ペッツ=アウグスティン平均の (0,1) カップ (1,infty)$) における位数 $alpha の計算について検討する。
この最適化問題を解くために,非漸近収束保証を用いた最初のアルゴリズムを提案する。
我々は、全ての量子状態が通勤すると、ペッツ=アウグスティン平均の$alpha$がフィッシャー市場の平衡価格と同値であることを確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.059931105362387
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the computation of the Petz-Augustin mean of order $\alpha \in (0,1) \cup (1,\infty)$, defined as the minimizer of a weighted sum of $n$ Petz-R\'enyi divergences of order $\alpha$ over the set of $d$-by-$d$ quantum states, where the Petz-R\'enyi divergence is a quantum generalization of the classical R\'enyi divergence. We propose the first algorithm with a non-asymptotic convergence guarantee for solving this optimization problem. The iterates are guaranteed to converge to the Petz-Augustin mean at a linear rate of \( O\left( \lvert 1 - 1/\alpha \rvert^T \right) \) with respect to the Thompson metric for $\alpha\in(1/2,1)\cup(1,\infty)$, where \( T \) denotes the number of iterations. The algorithm has an initialization time complexity of $O\left(nd^3\right)$ and a per-iteration time complexity of $O\left(nd^2 + d^3\right)$. Two applications follow. First, we propose the first iterative method with a non-asymptotic convergence guarantee for computing the Petz capacity of order $\alpha\in(1/2,1)$, which generalizes the quantum channel capacity and characterizes the optimal error exponent in classical-quantum channel coding. Second, we establish that the Petz-Augustin mean of order $\alpha$, when all quantum states commute, is equivalent to the equilibrium prices in Fisher markets with constant elasticity of substitution (CES) utilities of common elasticity $\rho=1-1/\alpha$, and our proposed algorithm can be interpreted as a t\^{a}tonnement dynamic. We then extend the proposed algorithm to inhomogeneous Fisher markets, where buyers have different elasticities, and prove that it achieves a faster convergence rate compared to existing t\^{a}tonnement-type algorithms.
- Abstract（参考訳）: 我々は、位数 $\alpha \in (0,1) \cup (1,\infty)$ のペッツ=アウグスティン平均の計算を、古典的な R'enyi の分域の量子化である$d$-by-$d$ の集合上の位数 $\alpha$ の重み付き和の最小値として定義する。
この最適化問題を解くために,非漸近収束保証を用いた最初のアルゴリズムを提案する。
反復はペッツ=アウグスティン平均(英語版)(Petz-Augustin mean)に収束することが保証される: \(O\left( \lvert 1 - 1/\alpha \rvert^T \right) \) で、トンプソン計量の$\alpha\in(1/2,1)\cup(1,\infty)$(T \) は反復数を表す。
このアルゴリズムは初期化時間の複雑さを$O\left(nd^3\right)$とし、時間単位の複雑性を$O\left(nd^2 + d^3\right)$とする。
2つの応用がある。
まず、量子チャネルのキャパシティを一般化し、古典量子チャネル符号化における最適誤差指数を特徴付ける、ペッツ容量を計算するための非漸近収束保証付き最初の反復法を提案する。
第二に、ペッツ=アウグスティン平均のオーダー$\alpha$は、全ての量子状態が可換であるときに、置換(CES)の一定の弾力性を持つフィッシャー市場の平衡価格と等価であり、共通の弾力性$\rho=1-1/\alpha$であり、提案アルゴリズムはt\^{a}トネメント力学と解釈できる。
次に,提案アルゴリズムを不均質なフィッシャー市場へ拡張し,購入者が弾性の異なる市場に展開し,既存の t\^{a} トンネメント型アルゴリズムと比較してより高速な収束率が得られることを示す。
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