論文の概要: An optimal Petrov-Galerkin framework for operator networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.04024v1
- Date: Thu, 06 Mar 2025 02:21:32 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-07 15:57:20.026175
- Title: An optimal Petrov-Galerkin framework for operator networks
- Title（参考訳）: 演算子ネットワークのためのペトロフ・ガレルキン最適フレームワーク
- Authors: Philip Charles, Deep Ray, Yue Yu, Joost Prins, Hugo Melchers, Michael R. A. Abdelmalik, Jeffrey Cochran, Assad A. Oberai, Thomas J. R. Hughes, Mats G. Larson,
- Abstract要約: 我々はペトロフ・ガレルキン変分模倣演算子ネットワーク(PG-VarMiON)と呼ばれる演算子ネットワークフレームワークを提案する。
PG−VarMiONは、PDEデータと対応するPDEソリューションとからなるラベル付きデータセットを用いて教師付き方法で訓練される。
PG-VarMiONの近似誤差推定を導出し,様々な誤差源の寄与を明らかにする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.74215163873406
- License:
- Abstract: The optimal Petrov-Galerkin formulation to solve partial differential equations (PDEs) recovers the best approximation in a specified finite-dimensional (trial) space with respect to a suitable norm. However, the recovery of this optimal solution is contingent on being able to construct the optimal weighting functions associated with the trial basis. While explicit constructions are available for simple one- and two-dimensional problems, such constructions for a general multidimensional problem remain elusive. In the present work, we revisit the optimal Petrov-Galerkin formulation through the lens of deep learning. We propose an operator network framework called Petrov-Galerkin Variationally Mimetic Operator Network (PG-VarMiON), which emulates the optimal Petrov-Galerkin weak form of the underlying PDE. The PG-VarMiON is trained in a supervised manner using a labeled dataset comprising the PDE data and the corresponding PDE solution, with the training loss depending on the choice of the optimal norm. The special architecture of the PG-VarMiON allows it to implicitly learn the optimal weighting functions, thus endowing the proposed operator network with the ability to generalize well beyond the training set. We derive approximation error estimates for PG-VarMiON, highlighting the contributions of various error sources, particularly the error in learning the true weighting functions. Several numerical results are presented for the advection-diffusion equation to demonstrate the efficacy of the proposed method. By embedding the Petrov-Galerkin structure into the network architecture, PG-VarMiON exhibits greater robustness and improved generalization compared to other popular deep operator frameworks, particularly when the training data is limited.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)を解く最適ペトロフ・ガレルキンの定式化は、適当なノルムに関して指定された有限次元(有理)空間の最適近似を回復する。
しかし、この最適解の回復は、試行基礎に付随する最適な重み付け関数を構築できることを前提としている。
単純な1次元および2次元問題に対して明示的な構成は可能であるが、一般的な多次元問題に対するそのような構成はいまだ解明されていない。
本研究では,ディープラーニングのレンズによるペトロフ・ガレルキンの最適定式化について再検討する。
本稿ではペトロフ・ガレルキン変分ミメティック・オペレーター・ネットワーク (PG-VarMiON) と呼ばれるオペレータ・ネットワーク・フレームワークを提案し, 基礎となるPDEの最適ペトロフ・ガレルキン弱形式をエミュレートする。
PG−VarMiONは、最適基準の選択に応じて、PDEデータと対応するPDEソリューションとからなるラベル付きデータセットを用いて教師付き方法でトレーニングされる。
PG-VarMiONの特別なアーキテクチャにより、最適重み付け関数を暗黙的に学習することができ、提案した演算子ネットワークにトレーニングセットをはるかに越えて一般化する能力を与える。
我々はPG-VarMiONの近似誤差推定を導出し、様々な誤差源の寄与、特に真の重み付け関数の学習における誤差を強調した。
提案手法の有効性を示すために, 対流拡散方程式の数値計算を行った。
ペトロフ・ガレルキン構造をネットワークアーキテクチャに埋め込むことにより、PG-VarMiONは、特にトレーニングデータに制限がある場合、他の一般的な深層演算子フレームワークと比較して、より堅牢で、一般化が向上する。
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