論文の概要: Quantum Max $d$-Cut via qudit swap operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.20942v1
- Date: Wed, 26 Mar 2025 19:30:17 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-28 12:51:17.908285
- Title: Quantum Max $d$-Cut via qudit swap operators
- Title（参考訳）: Quantum Max $d$-Cut via qudit swap operator
- Authors: Igor Klep, Tea Štrekelj, Jurij Volčič,
- Abstract要約: 量子ビット系の量子マックスカット(QMC)問題は、2-局所ハミルトン問題の一例である。
本稿では,キューディット系におけるQMC問題の高次元アナログ構造について検討する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: Quantum Max Cut (QMC) problem for systems of qubits is an example of a 2-local Hamiltonian problem, and a prominent paradigm in computational complexity theory. This paper investigates the algebraic structure of a higher-dimensional analog of the QMC problem for systems of qudits. The Quantum Max d-Cut (d-QMC) problem asks for the largest eigenvalue of a Hamiltonian on a graph with n vertices whose edges correspond to swap operators acting on $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$. The algebra generated by the swap operators is identified as a quotient of a free algebra modulo symmetric group relations and a single additional relation of degree d. This presentation leads to a tailored hierarchy of semidefinite programs, leveraging noncommutative polynomial optimization (NPO) methods, that converges to the solution of the d-QMC problem. For a large class of complete bipartite graphs, exact solutions for the d-QMC problem are derived using the representation theory of symmetric groups. This in particular includes the d-QMC problem for clique and star graphs on n vertices, for all d and n. Lastly, the paper addresses a refined d-QMC problem focused on finding the largest eigenvalue within each isotypic component (irreducible block) of the graph Hamiltonian. It is shown that the spectrum of the star graph Hamiltonian distinguishes between isotypic components of the 3-QMC problem. For general d, low-degree relations for separating isotypic components are presented, enabling adaptation of the global NPO hierarchy to efficiently compute the largest eigenvalue in each isotypic component.
- Abstract（参考訳）: 量子マックスカット(QMC)問題(Quantum Max Cut)は、2局所ハミルトン問題の一例であり、計算複雑性理論において顕著なパラダイムである。
本稿では,キューディット系に対するQMC問題の高次元アナログの代数的構造について検討する。
量子マックス d-キュート(d-QMC)問題は、辺が $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$ に作用するスワップ作用素に対応する n 個の頂点を持つグラフ上のハミルトニアンの最大の固有値を求める。
スワップ作用素によって生成される代数は、自由代数モジュラー対称群関係と次数 d の1つの追加関係の商として同定される。
このプレゼンテーションは、d-QMC問題の解に収束する非可換多項式最適化(NPO)法を利用して、半定値プログラムの調整された階層化につながる。
完備二部グラフの大規模なクラスに対して、d-QMC問題の正確な解は対称群の表現論を用いて導出される。
特にこの問題には、すべての d と n に対して n 頂点上のクリッドグラフとスターグラフに対する d-QMC 問題が含まれる。
最後に、グラフハミルトニアンの各アイソタイプ成分(既約ブロック)の中で最大の固有値を求めることに焦点を当てた、洗練されたd-QMC問題に対処する。
恒星グラフハミルトニアンのスペクトルが3QMC問題の同型成分を区別していることが示されている。
一般に、同型成分を分離するための低次関係が提示され、大域的NPO階層の適応により、各同型成分の最大の固有値を効率的に計算することができる。
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