論文の概要: A convergence law for continuous logic and continuous structures with finite domains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.08923v1
• Date: Fri, 11 Apr 2025 19:08:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-15 16:49:27.521514
• Title: A convergence law for continuous logic and continuous structures with finite domains
• Title（参考訳）: 有限領域を持つ連続論理と連続構造に対する収束則
• Authors: Vera Koponen,
• Abstract要約: 有限領域 $[n] := 1, ldots, n$ の連続構造と、単位区間の値を持つ多くの値論理 $CLA$ を考える。 CLA$は、従来の有限構造上の一階論理を仮定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We consider continuous relational structures with finite domain $[n] := \{1, \ldots, n\}$ and a many valued logic, $CLA$, with values in the unit interval and which uses continuous connectives and continuous aggregation functions. $CLA$ subsumes first-order logic on ``conventional'' finite structures. To each relation symbol $R$ and identity constraint $ic$ on a tuple the length of which matches the arity of $R$ we associate a continuous probability density function $\mu_R^{ic} : [0, 1] \to [0, \infty)$. We also consider a probability distribution on the set $\mathbf{W}_n$ of continuous structures with domain $[n]$ which is such that for every relation symbol $R$, identity constraint $ic$, and tuple $\bar{a}$ satisfying $ic$, the distribution of the value of $R(\bar{a})$ is given by $\mu_R^{ic}$, independently of the values for other relation symbols or other tuples. In this setting we prove that every formula in $CLA$ is asymptotically equivalent to a formula without any aggregation function. This is used to prove a convergence law for $CLA$ which reads as follows for formulas without free variables: If $\varphi \in CLA$ has no free variable and $I \subseteq [0, 1]$ is an interval, then there is $\alpha \in [0, 1]$ such that, as $n$ tends to infinity, the probability that the value of $\varphi$ is in $I$ tends to $\alpha$.
• Abstract（参考訳）: 有限領域 $[n] := \{1, \ldots, n\}$ と多くの値論理 $CLA$ は単位区間の値を持ち、連続接続関数と連続集約関数を使用する。 CLA$は ``conventional'' の有限構造上の一階論理を仮定する。 タプル上の各関係記号 $R$ と恒等制約 $ic$ に対して、R$ のアリティに一致する長さは、連続確率密度関数 $\mu_R^{ic} : [0, 1] \to [0, \infty)$ を関連付ける。 すべての関係記号 $R$, ID 制約 $ic$, タプル $\bar{a}$ が $ic$ を満たすとき、$R(\bar{a})$ の値の分布は $\mu_R^{ic}$ によって与えられる。 この設定では、$CLA$ のすべての公式は、アグリゲーション関数を持たない公式と漸近的に等価であることを示す。 もし $\varphi \in CLA$ が自由変数を持たず、$I \subseteq [0, 1]$ が区間であるなら、$\alpha \in [0, 1]$ が存在して、$n$ が無限大となると、$\varphi$ が$I$ に含まれる確率は$\alpha$ となる。

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