論文の概要: Central limit theorems for the eigenvalues of graph Laplacians on data clouds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.18803v1
- Date: Thu, 24 Jul 2025 21:03:20 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-28 16:16:48.755741
- Title: Central limit theorems for the eigenvalues of graph Laplacians on data clouds
- Title(参考訳): データ雲上のグラフラプラシアンの固有値に対する中心極限定理
- Authors: Chenghui Li, Nicolás García Trillos, Housen Li, Leo Suchan,
- Abstract要約: 我々は、ラプラシア作用素 $Delta_n$ を、$X_n$ 上の $varepsilon$-sqrt グラフに関連付けて考える。
公式な議論は、この分散をフィッシャー・ラオ幾何学に関する適切なエネルギーの散逸として解釈することができる。
ある種の重み付きラプラス・ベルトラミ作用素の固有値推定のためのクレイマー・ラオ下界の幾何学的分散の統計的解釈
- 参考スコア(独自算出の注目度): 6.993491018326815
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Given i.i.d.\ samples $X_n =\{ x_1, \dots, x_n \}$ from a distribution supported on a low dimensional manifold ${M}$ embedded in Eucliden space, we consider the graph Laplacian operator $\Delta_n$ associated to an $\varepsilon$-proximity graph over $X_n$ and study the asymptotic fluctuations of its eigenvalues around their means. In particular, letting $\hat{\lambda}_l^\varepsilon$ denote the $l$-th eigenvalue of $\Delta_n$, and under suitable assumptions on the data generating model and on the rate of decay of $\varepsilon$, we prove that $\sqrt{n } (\hat{\lambda}_{l}^\varepsilon - \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{l}^\varepsilon] )$ is asymptotically Gaussian with a variance that we can explicitly characterize. A formal argument allows us to interpret this asymptotic variance as the dissipation of a gradient flow of a suitable energy with respect to the Fisher-Rao geometry. This geometric interpretation allows us to give, in turn, a statistical interpretation of the asymptotic variance in terms of a Cramer-Rao lower bound for the estimation of the eigenvalues of certain weighted Laplace-Beltrami operator. The latter interpretation suggests a form of asymptotic statistical efficiency for the eigenvalues of the graph Laplacian. We also present CLTs for multiple eigenvalues and through several numerical experiments explore the validity of our results when some of the assumptions that we make in our theoretical analysis are relaxed.
- Abstract(参考訳): i.d.\ sample $X_n =\{ x_1, \dots, x_n \}$ が、ユークリッド空間に埋め込まれた低次元多様体 ${M}$ 上の分布から得られるとすると、ラプラシア作用素 $\Delta_n$ は、$X_n$ 上の $\varepsilon$-proximity グラフに付随し、その固有値の漸近ゆらぎについて検討する。
特に、$\hat{\lambda}_l^\varepsilon$を$\Delta_n$の$l$-th固有値とすると、データ生成モデルと$\varepsilon$の崩壊率で、$\sqrt{n } (\hat{\lambda}_{l}^\varepsilon - \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{l}^\varepsilon] )$が漸近的にガウス的であることを証明する。
形式的な議論は、この漸近的分散をフィッシャー・ラオ幾何学に関する適切なエネルギーの勾配流の散逸として解釈することができる。
この幾何学的解釈により、ある重み付きラプラス・ベルトラミ作用素の固有値の推定のために、クレイマー・ラオの下界という観点から漸近的分散の統計的解釈を与えることができる。
後者の解釈は、グラフラプラシアンの固有値に対する漸近統計効率の形式を示唆している。
また、複数の固有値に対してCLTを提示し、理論解析で仮定したいくつかの仮定が緩和された場合、いくつかの数値実験により結果の有効性を検証した。
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