論文の概要: An AI Approach for Learning the Spectrum of the Laplace-Beltrami Operator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.07073v1
• Date: Wed, 09 Jul 2025 17:31:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-10 17:37:43.711538
• Title: An AI Approach for Learning the Spectrum of the Laplace-Beltrami Operator
• Title（参考訳）: ラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトル学習のためのAIアプローチ
• Authors: Yulin An, Enrique del Castillo,
• Abstract要約: 本稿では,LB(Laplace-Beltrami)スペクトルを予測するためのディープラーニングフレームワークを提案する。 提案されたグラフニューラルネットワークアーキテクチャは、ガウス曲率、平均曲率、主曲率など、豊富な部分メッシュ機能を使用する。 実験の結果,LBスペクトルの計算時間を線形FEMの約5倍削減できることがわかった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The spectrum of the Laplace-Beltrami (LB) operator is central in geometric deep learning tasks, capturing intrinsic properties of the shape of the object under consideration. The best established method for its estimation, from a triangulated mesh of the object, is based on the Finite Element Method (FEM), and computes the top k LB eigenvalues with a complexity of O(Nk), where N is the number of points. This can render the FEM method inefficient when repeatedly applied to databases of CAD mechanical parts, or in quality control applications where part metrology is acquired as large meshes and decisions about the quality of each part are needed quickly and frequently. As a solution to this problem, we present a geometric deep learning framework to predict the LB spectrum efficiently given the CAD mesh of a part, achieving significant computational savings without sacrificing accuracy, demonstrating that the LB spectrum is learnable. The proposed Graph Neural Network architecture uses a rich set of part mesh features - including Gaussian curvature, mean curvature, and principal curvatures. In addition to our trained network, we make available, for repeatability, a large curated dataset of real-world mechanical CAD models derived from the publicly available ABC dataset used for training and testing. Experimental results show that our method reduces computation time of the LB spectrum by approximately 5 times over linear FEM while delivering competitive accuracy.
• Abstract（参考訳）: ラプラス・ベルトラミ作用素(LB)のスペクトルは幾何学的な深層学習タスクの中心であり、対象の形状の内在的性質を考慮に入れている。 オブジェクトの三角メッシュから推定するための最も確立された方法は有限要素法(FEM)に基づいており、N が点数である O(Nk) の複雑さでトップ k LB 固有値を計算する。 これにより、CAD機械部品のデータベースに繰り返し適用した場合や、大メッシュとして部品のメソロジーが取得される品質管理アプリケーションにおいて、各部品の品質に関する決定が迅速かつ頻繁に必要となる場合、FEM法を非効率にすることができる。 この問題に対する解決策として,部分のCADメッシュからLBスペクトルを効率的に予測し,精度を犠牲にすることなく計算の大幅な削減を実現し,LBスペクトルが学習可能であることを示す幾何学的ディープラーニングフレームワークを提案する。 提案されたグラフニューラルネットワークアーキテクチャは、ガウス曲率、平均曲率、主曲率など、豊富な部分メッシュ機能を使用する。 トレーニングネットワークに加えて、トレーニングやテストに使用されるABCデータセットから派生した、実世界のメカニカルCADモデルの大規模なキュレートデータセットであるリピータビリティも提供しています。 実験結果から,LBスペクトルの計算時間を線形FEMの約5倍削減し,競合精度を実現した。

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