論文の概要: Kernel-Adaptive PI-ELMs for Forward and Inverse Problems in PDEs with Sharp Gradients
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.10241v1
- Date: Mon, 14 Jul 2025 13:03:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-15 18:48:24.962551
- Title: Kernel-Adaptive PI-ELMs for Forward and Inverse Problems in PDEs with Sharp Gradients
- Title（参考訳）: シャープ勾配を有するPDEの前方・逆問題に対するカーネル適応型PI-ELM
- Authors: Vikas Dwivedi, Balaji Srinivasan, Monica Sigovan, Bruno Sixou,
- Abstract要約: 本稿では,KAPI-ELM(Kernel Adaptive Physics-Informed Extreme Learning Machine)を紹介する。
局所的急勾配を含む前方および逆部分微分方程式(PDE)の問題を解くように設計されている。
KAPI-ELMは、フォワード設定と逆設定の両方で最先端の精度を達成する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper introduces the Kernel Adaptive Physics-Informed Extreme Learning Machine (KAPI-ELM), an adaptive Radial Basis Function (RBF)-based extension of PI-ELM designed to solve both forward and inverse Partial Differential Equation (PDE) problems involving localized sharp gradients. While PI-ELMs outperform the traditional Physics-Informed Neural Networks (PINNs) in speed due to their single-shot, least square optimization, this advantage comes at a cost: their fixed, randomly initialized input layer limits their ability to capture sharp gradients. To overcome this limitation, we introduce a lightweight Bayesian Optimization (BO) framework that, instead of adjusting each input layer parameter individually as in traditional backpropagation, learns a small set of hyperparameters defining the statistical distribution from which the input weights are drawn. This novel distributional optimization strategy -- combining BO for input layer distributional parameters with least-squares optimization for output layer network parameters -- enables KAPI-ELM to preserve PI-ELM's speed while matching or exceeding the expressiveness of PINNs. We validate the proposed methodology on several challenging forward and inverse PDE benchmarks, including a 1D singularly perturbed convection-diffusion equation, a 2D Poisson equation with sharp localized sources, and a time-dependent advection equation. Notably, KAPI-ELM achieves state-of-the-art accuracy in both forward and inverse settings. In stiff PDE regimes, it matches or even outperforms advanced methods such as the Extended Theory of Functional Connections (XTFC), while requiring nearly an order of magnitude fewer tunable parameters. These results establish the potential of KAPI-ELM as a scalable, interpretable, and generalizable physics-informed learning framework, especially in stiff PDE regimes.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,局所的な急勾配を含む部分微分方程式(PDE)問題を解決するために,適応的ラジアル基底関数(RBF)に基づくPI-ELMの拡張であるKAPI-ELM(Kernel Adaptive Physics-Informed Extreme Learning Machine)を提案する。
PI-ELMは単一ショットの最小二乗最適化によって従来の物理情報ニューラルネットワーク(PINN)よりも高速に動作しますが、この利点はコストがかかります。
この制限を克服するために、従来のバックプロパゲーションのように各入力層パラメータを個別に調整する代わりに、入力重みが引き出される統計分布を定義する小さなハイパーパラメータセットを学習する、軽量なベイズ最適化(BO)フレームワークを導入する。
入力層分布パラメータのBOと出力層ネットワークパラメータの最小二乗最適化を組み合わせたこの新しい分散最適化戦略により、KAPI-ELMはPINNの表現性を一致または超えながらPI-ELMの速度を維持することができる。
提案手法は, 特異摂動対流拡散方程式, 急激な局所化源を持つ2次元ポアソン方程式, 時間依存の対流方程式など, いくつかの挑戦的および逆PDEベンチマーク上で検証される。
特に、KAPI-ELMは、フォワードと逆の設定の両方で最先端の精度を達成する。
固いPDE体制では、拡張汎関数接続理論(XTFC)のような先進的な手法に適合し、さらに性能も向上する。
これらの結果は、特に強硬なPDE体制において、KAPI-ELMをスケーラブルで解釈可能で一般化可能な物理インフォームドラーニングフレームワークとしての可能性を確立する。
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