論文の概要: An Extreme Learning Machine-Based Method for Computational PDEs in
Higher Dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.07049v1
- Date: Wed, 13 Sep 2023 15:59:02 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-09-14 13:40:15.025150
- Title: An Extreme Learning Machine-Based Method for Computational PDEs in
Higher Dimensions
- Title（参考訳）: エクストリーム・ラーニング・マシンを用いた高次元pdes計算法
- Authors: Yiran Wang, Suchuan Dong
- Abstract要約: 本稿では,確率型ニューラルネットワークに基づく高次元偏微分方程式(PDE)の解法について述べる。
本稿では,高次元線形・非線形定常・動的PDEの数値シミュレーションを行い,その性能を実証する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2981626828414923
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present two effective methods for solving high-dimensional partial
differential equations (PDE) based on randomized neural networks. Motivated by
the universal approximation property of this type of networks, both methods
extend the extreme learning machine (ELM) approach from low to high dimensions.
With the first method the unknown solution field in $d$ dimensions is
represented by a randomized feed-forward neural network, in which the
hidden-layer parameters are randomly assigned and fixed while the output-layer
parameters are trained. The PDE and the boundary/initial conditions, as well as
the continuity conditions (for the local variant of the method), are enforced
on a set of random interior/boundary collocation points. The resultant linear
or nonlinear algebraic system, through its least squares solution, provides the
trained values for the network parameters. With the second method the
high-dimensional PDE problem is reformulated through a constrained expression
based on an Approximate variant of the Theory of Functional Connections
(A-TFC), which avoids the exponential growth in the number of terms of TFC as
the dimension increases. The free field function in the A-TFC constrained
expression is represented by a randomized neural network and is trained by a
procedure analogous to the first method. We present ample numerical simulations
for a number of high-dimensional linear/nonlinear stationary/dynamic PDEs to
demonstrate their performance. These methods can produce accurate solutions to
high-dimensional PDEs, in particular with their errors reaching levels not far
from the machine accuracy for relatively lower dimensions. Compared with the
physics-informed neural network (PINN) method, the current method is both
cost-effective and more accurate for high-dimensional PDEs.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,ランダム化ニューラルネットワークを用いた高次元偏微分方程式(pde)の解法を2つ提案する。
このタイプのネットワークの普遍近似特性により、どちらの手法も極端学習機械(ELM)アプローチを低次元から高次元に拡張する。
最初の方法では、$d$次元の未知の解場をランダムなフィードフォワードニューラルネットワークで表現し、出力層パラメータのトレーニング中に隠蔽層パラメータをランダムに割り当て固定する。
PDEと境界/初期条件、および連続性条件(この方法の局所変種の場合)は、ランダムな内部/境界コロケーション点の集合に強制される。
その結果の線形あるいは非線形代数系は、最小二乗解を通じて、ネットワークパラメータの訓練された値を提供する。
第2の方法により、高次元PDE問題は、次元が増加するにつれてTFCの項数が指数関数的に増加するのを回避し、関数接続理論(A-TFC)の近似変種に基づく制約付き式によって再構成される。
A-TFC制約式における自由場関数はランダム化されたニューラルネットワークで表現され、第1の手法に類似した手順で訓練される。
本稿では,高次元線形・非線形定常・動的PDEの数値シミュレーションを行い,その性能を実証する。
これらの手法は高次元PDEの正確な解を生成することができ、特に比較的低次元の機械の精度から程遠いレベルまで誤差が到達している。
物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)法と比較して、現在の手法はコスト効率が高く、高次元PDEに対してより正確である。
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