論文の概要: Mean-Field Langevin Diffusions with Density-dependent Temperature

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.20958v1
• Date: Mon, 28 Jul 2025 16:09:57 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-29 16:23:58.199252
• Title: Mean-Field Langevin Diffusions with Density-dependent Temperature
• Title（参考訳）: 密度依存性温度を持つ平均場ランゲヴィン拡散
• Authors: Yu-Jui Huang, Zachariah Malik,
• Abstract要約: 非線型ランベルト原理による誘導密度を最小化するために検討する。 ランゲヴィン力学は現在、自身の密度で自己制御されているため、平均場微分方程式を形成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2277343096128712
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In the context of non-convex optimization, we let the temperature of a Langevin diffusion to depend on the diffusion's own density function. The rationale is that the induced density reveals to some extent the landscape imposed by the non-convex function to be minimized, such that a density-dependent temperature can provide location-wise random perturbation that may better react to, for instance, the location and depth of local minimizers. As the Langevin dynamics is now self-regulated by its own density, it forms a mean-field stochastic differential equation (SDE) of the Nemytskii type, distinct from the standard McKean-Vlasov equations. Relying on Wasserstein subdifferential calculus, we first show that the corresponding (nonlinear) Fokker-Planck equation has a unique solution. Next, a weak solution to the SDE is constructed from the solution to the Fokker-Planck equation, by Trevisan's superposition principle. As time goes to infinity, we further show that the density induced by the SDE converges to an invariant distribution, which admits an explicit formula in terms of the Lambert $W$ function.
• Abstract（参考訳）: 非凸最適化の文脈では、ランゲヴィン拡散の温度は拡散自身の密度関数に依存する。 理論的には、誘導密度は、非凸関数によって課される景観をある程度最小化し、密度依存温度が局所最小化器の位置と深さによりよく反応する位置のランダムな摂動を与えることができる。 ランゲヴィンの力学は現在、自身の密度で自己制御されているため、ネミツキー型の平均場確率微分方程式(SDE)を形成し、標準のマッケイン・ブラソフ方程式とは異なる。 ワッサーシュタイン偏微分計算を基礎として、対応する(非線形)フォッカー・プランク方程式が一意解を持つことを示す。 次に、トレビサンの重ね合わせ原理により、SDEに対する弱い解がフォッカー・プランク方程式の解から構築される。 時が無限に近づくにつれて、SDE によって引き起こされる密度は不変分布に収束し、ランベルト$W$関数の項で明示的な公式を持つことを示す。

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