論文の概要: Learning Geometric-Aware Quadrature Rules for Functional Minimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.05445v1
- Date: Thu, 07 Aug 2025 14:37:23 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-08-08 18:59:39.911688
- Title: Learning Geometric-Aware Quadrature Rules for Functional Minimization
- Title（参考訳）: 関数最小化のための幾何学的幾何規則の学習
- Authors: Costas Smaragdakis,
- Abstract要約: 我々は、点雲の基底となる幾何学から直接最適な2次重みを学習するために設計されたニューラルネットワーク(GNN)アーキテクチャを導入する。
この研究はエネルギー汎関数変動の最適化に不可欠であり、深層学習に基づく変分解法の改善につながる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Accurate numerical integration over non-uniform point clouds is a challenge for modern mesh-free machine learning solvers for partial differential equations (PDEs) using variational principles. While standard Monte Carlo (MC) methods are not capable of handling a non-uniform point cloud, modern neural network architectures can deal with permutation-invariant inputs, creating quadrature rules for any point cloud. In this work, we introduce QuadrANN, a Graph Neural Network (GNN) architecture designed to learn optimal quadrature weights directly from the underlying geometry of point clouds. The design of the model exploits a deep message-passing scheme where the initial layer encodes rich local geometric features from absolute and relative positions as well as an explicit local density measure. In contrast, the following layers incorporate a global context vector. These architectural choices allow the QuadrANN to generate a data-driven quadrature rule that is permutation-invariant and adaptive to both local point density and the overall domain shape. We test our methodology on a series of challenging test cases, including integration on convex and non-convex domains and estimating the solution of the Heat and Fokker-Planck equations. Across all the tests, QuadrANN reduces the variance of the integral estimation compared to standard Quasi-Monte Carlo methods by warping the point clouds to be more dense in critical areas where the integrands present certain singularities. This enhanced stability in critical areas of the domain at hand is critical for the optimization of energy functionals, leading to improved deep learning-based variational solvers.
- Abstract（参考訳）: 非一様点雲上の正確な数値積分は、変分原理を用いた偏微分方程式(PDE)に対する現代的なメッシュフリー機械学習ソルバの課題である。
標準的なモンテカルロ法(MC)では、一様でない点クラウドを処理できないが、現代のニューラルネットワークアーキテクチャは置換不変の入力を扱うことができ、任意の点クラウドに対して二次ルールを作成することができる。
本研究では,点雲の基底形状から直接最適な二次重みを学習するために設計されたグラフニューラルネットワーク(GNN)アーキテクチャであるQuadrANNを紹介する。
モデルの設計は、初期層が絶対位置と相対位置からリッチな局所幾何学的特徴をエンコードし、明示的な局所密度測定を行うディープメッセージパス方式を利用する。
対照的に、以下の層はグローバルコンテキストベクトルを含む。
これらのアーキテクチャ選択により、QuadrANNは、置換不変で局所点密度と全体領域形状の両方に適応するデータ駆動の二次規則を生成することができる。
我々は,凸領域と非凸領域の統合や,熱およびフォッカー・プランク方程式の解を推定するなど,一連の挑戦的なテストケースで方法論を検証した。
全てのテストで、QuadrANNは積分推定の分散を標準のQuadi-Monte Carlo法と比較して減らし、積分が特異点を示す臨界領域において点雲をより密度の高いものにする。
この領域の臨界領域の安定性の向上はエネルギー汎関数の最適化に不可欠であり、深層学習に基づく変分解法の改善につながる。
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