論文の概要: Block encoding the 3D heterogeneous Poisson equation with application to fracture flow

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.07125v1
• Date: Sun, 10 Aug 2025 00:17:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-12 21:23:28.712899
• Title: Block encoding the 3D heterogeneous Poisson equation with application to fracture flow
• Title（参考訳）: 3次元不均一ポアソン方程式のブロック符号化とフラクチャーフローへの応用
• Authors: Austin Pechan, John Golden, Daniel O'Malley,
• Abstract要約: 量子線形系(QLS)アルゴリズムは、古典的手法よりも指数関数的に高速に大規模線形系を解くことができる。 離散化3次元不均一ポアソン方程式の解法としてQLSアルゴリズムの適用可能性について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Quantum linear system (QLS) algorithms offer the potential to solve large-scale linear systems exponentially faster than classical methods. However, applying QLS algorithms to real-world problems remains challenging due to issues such as state preparation, data loading, and efficient information extraction. In this work, we study the feasibility of applying QLS algorithms to solve discretized three-dimensional heterogeneous Poisson equations, with specific examples relating to groundwater flow through geologic fracture networks. We explicitly construct a block encoding for the 3D heterogeneous Poisson matrix by leveraging the sparse local structure of the discretized operator. While classical solvers benefit from preconditioning, we show that block encoding the system matrix and preconditioner separately does not improve the effective condition number that dominates the QLS runtime. This differs from classical approaches where the preconditioner and the system matrix can often be implemented independently. Nevertheless, due to the structure of the problem in three dimensions, the quantum algorithm achieves a runtime of $O(N^{2/3} \ \text{polylog } N \cdot \log(1/\epsilon))$, outperforming the best classical methods (with runtimes of $O(N \log N \cdot \log(1/\epsilon))$) and offering exponential memory savings. These results highlight both the promise and limitations of QLS algorithms for practical scientific computing, and point to effective condition number reduction as a key barrier in achieving quantum advantages.
• Abstract（参考訳）: 量子線形系(QLS)アルゴリズムは、古典的手法よりも指数関数的に高速に大規模線形系を解くことができる。 しかし,QLSアルゴリズムを実世界の問題に適用することは,状態準備やデータローディング,効率的な情報抽出といった問題により,依然として困難である。 本研究では, 地質破砕ネットワークを通した地下水流に関する具体的な例を用いて, 離散化三次元不均質ポアソン方程式の解法としてQLSアルゴリズムの適用可能性について検討する。 離散化演算子のスパース局所構造を利用して、3次元不均一なポアソン行列のブロック符号化を明示的に構築する。 従来のプリコンディショナーはプリコンディショニングの恩恵を受けるが,システム行列とプリコンディショナーを個別にコードするブロックは,QLSランタイムを支配している実効条件数を改善しないことを示す。 これは、プリコンディショナーとシステムマトリックスを独立して実装できる古典的なアプローチとは異なる。 それでも、問題の3次元構造のため、量子アルゴリズムは$O(N^{2/3} \ \text{polylog } N \cdot \log(1/\epsilon))$のランタイムを達成し、(N \log N \cdot \log(1/\epsilon)$のランタイムで)最高の古典的手法より優れ、指数的メモリの節約を提供する。 これらの結果は、実用科学計算におけるQLSアルゴリズムの約束と限界の両方を強調し、量子的優位性を達成する上で重要な障壁として効果的な条件数削減を指摘する。

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