論文の概要: A Globally Optimal Analytic Solution for Semi-Nonnegative Matrix Factorization with Nonnegative or Mixed Inputs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.07134v1
• Date: Sun, 10 Aug 2025 01:15:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-12 21:23:28.718899
• Title: A Globally Optimal Analytic Solution for Semi-Nonnegative Matrix Factorization with Nonnegative or Mixed Inputs
• Title（参考訳）: 非負または混合入力をもつ半負行列因子分解のための大域的最適解法
• Authors: Lu Chenggang,
• Abstract要約: 我々はSemi-Non negative Factorization (semi-NMF)と呼ばれる新しいタイプの行列分解を開発する。 本手法が再構成誤差のグローバルな分解を実現することを実証する。 提案手法は, 理論的, 実証的両方の利点を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Semi-Nonnegative Matrix Factorization (semi-NMF) extends classical Nonnegative Matrix Factorization (NMF) by allowing the basis matrix to contain both positive and negative entries, making it suitable for decomposing data with mixed signs. However, most existing semi-NMF algorithms are iterative, non-convex, and prone to local minima. In this paper, we propose a novel method that yields a globally optimal solution to the semi-NMF problem under the Frobenius norm, through an orthogonal decomposition derived from the scatter matrix of the input data. We rigorously prove that our solution attains the global minimum of the reconstruction error. Furthermore, we demonstrate that when the input matrix is nonnegative, our method often achieves lower reconstruction error than standard NMF algorithms, although unfortunately the basis matrix may not satisfy nonnegativity. In particular, in low-rank cases such as rank 1 or 2, our solution reduces exactly to a nonnegative factorization, recovering the NMF structure. We validate our approach through experiments on both synthetic data and the UCI Wine dataset, showing that our method consistently outperforms existing NMF and semi-NMF methods in terms of reconstruction accuracy. These results confirm that our globally optimal, non-iterative formulation offers both theoretical guarantees and empirical advantages, providing a new perspective on matrix factorization in optimization and data analysis.
• Abstract（参考訳）: 半負行列因子分解(semi-Non negative Matrix Factorization, semi-NMF)は、基底行列に正と負の両方の成分を含ませることによって古典的非負行列因子分解(NMF)を拡張し、混合符号でデータを分解するのに好適である。 しかし、既存の半NMFアルゴリズムのほとんどは反復的であり、非凸であり、局所ミニマである。 本稿では,Frobeniusノルムの下での半NMF問題に対して,入力データの散乱行列から導出した直交分解により,大域的に最適解を求める手法を提案する。 我々は,本手法が再建誤差の最小値に達することを厳密に証明する。 さらに,入力行列が非負である場合,提案手法は標準NMFアルゴリズムよりも低い再構成誤差をしばしば達成するが,残念ながら基底行列は非負性を満たすことができない。 特にランク1やランク2のような低ランクの場合では、解はNMF構造を回復する非負の分解に正確に還元される。 提案手法は, 合成データとUCIワインデータセットを用いた実験により, 既存のNMF法と半NMF法を再現精度で一貫して上回っていることを示す。 これらの結果は, 理論的保証と経験的優位性の両方を提供し, 最適化における行列分解とデータ解析の新たな視点を提供する。

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