論文の概要: Optimal Subspace Embeddings: Resolving Nelson-Nguyen Conjecture Up to Sub-Polylogarithmic Factors

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.14234v1
• Date: Tue, 19 Aug 2025 19:45:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-21 16:52:41.26103
• Title: Optimal Subspace Embeddings: Resolving Nelson-Nguyen Conjecture Up to Sub-Polylogarithmic Factors
• Title（参考訳）: 最適部分空間埋め込み:Lonson-Nguyen Conjectureを準多元数因子に分解する
• Authors: Shabarish Chenakkod, Michał Dereziński, Xiaoyu Dong,
• Abstract要約: 我々は、隠蔽部分空間埋め込みの最適次元と空間性に関するネルソンとニュイエンの予想(FOCS 2013)の証明を与える。 任意の $ngeq d$ および $epsilongeq d-O(1)$ に対して、任意の $AinmathbbRntimes d に対して $tilde O(d/epsilon2)times n$ matrix $Pi$ with $tilde O(log(d)/epsilon)$ non-zeros per column が存在する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.9657575162895196
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We give a proof of the conjecture of Nelson and Nguyen [FOCS 2013] on the optimal dimension and sparsity of oblivious subspace embeddings, up to sub-polylogarithmic factors: For any $n\geq d$ and $\epsilon\geq d^{-O(1)}$, there is a random $\tilde O(d/\epsilon^2)\times n$ matrix $\Pi$ with $\tilde O(\log(d)/\epsilon)$ non-zeros per column such that for any $A\in\mathbb{R}^{n\times d}$, with high probability, $(1-\epsilon)\|Ax\|\leq\|\Pi Ax\|\leq(1+\epsilon)\|Ax\|$ for all $x\in\mathbb{R}^d$, where $\tilde O(\cdot)$ hides only sub-polylogarithmic factors in $d$. Our result in particular implies a new fastest sub-current matrix multiplication time reduction of size $\tilde O(d/\epsilon^2)$ for a broad class of $n\times d$ linear regression tasks. A key novelty in our analysis is a matrix concentration technique we call iterative decoupling, which we use to fine-tune the higher-order trace moment bounds attainable via existing random matrix universality tools [Brailovskaya and van Handel, GAFA 2024].
• Abstract（参考訳）: 任意の$n\geq d$と$\epsilon\geq d^{-O(1)}$に対して、ランダムな$\tilde O(d/\epsilon^2)\times n$ matrix $\Pi$ with $\tilde O(\log(d)/\epsilon)$ non-zeros per column, with high probability, $(1-\epsilon)\|Ax|\leq Ax|\leq Ax|\leq Ax|\leq Ax|\leq+\epsilon +Ax|\inde O(\epsilon^2)\times n$$$$$$\Pi$ with $\tilde O(\log(d)/\epsilon)$$ non-zeros per column, with any $A\in\mathbb{R}^{n\times d}$, with high probability, $(1-\epsilon)\|Ax|\leq Ax|\leq Ax|\leq Ax|\epsilon+\indeO(x)$\ind\inde O(\psilon )$$$$\ind\ind\ind\ind\psilon である。 我々の結果は特に、線形回帰タスクの広いクラスに対して、$\tilde O(d/\epsilon^2)$の新しい高速なサブカレント行列乗算時間削減を示唆している。 この手法は、既存のランダム行列普遍性ツール(Brailovskaya and van Handel, GAFA 2024)を介して達成可能な高次トレースモーメント境界を微調整するために用いられる。

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