論文の概要: Quantum and classical query complexities of functions of matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.06999v3
• Date: Fri, 17 Jan 2025 01:39:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-20 13:57:21.881704
• Title: Quantum and classical query complexities of functions of matrices
• Title（参考訳）: 行列関数の量子的および古典的クエリ複雑度
• Authors: Ashley Montanaro, Changpeng Shao,
• Abstract要約: 任意の連続関数 $f(x):[-1,1]rightarrow [-1,1]$ に対して、計算の量子クエリ複雑性 $brai f(A) ketjpm varepsilon/4$ は$Omega(widetildedeg_varepsilon(f))$ で制限される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: Let $A$ be an $s$-sparse Hermitian matrix, $f(x)$ be a univariate function, and $i, j$ be two indices. In this work, we investigate the query complexity of approximating $\bra{i} f(A) \ket{j}$. We show that for any continuous function $f(x):[-1,1]\rightarrow [-1,1]$, the quantum query complexity of computing $\bra{i} f(A) \ket{j}\pm \varepsilon/4$ is lower bounded by $\Omega(\widetilde{\deg}_\varepsilon(f))$. The upper bound is at most quadratic in $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ and is linear in $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ under certain mild assumptions on $A$. Here the approximate degree $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ is the minimum degree such that there is a polynomial of that degree approximating $f$ up to additive error $\varepsilon$ in the interval $[-1,1]$. We also show that the classical query complexity is lower bounded by $\widetilde{\Omega}((s/2)^{(\widetilde{\deg}_{2\varepsilon}(f)-1)/6})$ for any $s\geq 4$. Our results show that the quantum and classical separation is exponential for any continuous function of sparse Hermitian matrices, and also imply the optimality of implementing smooth functions of sparse Hermitian matrices by quantum singular value transformation. As another hardness result, we show that entry estimation problem (i.e., deciding $\bra{i} f(A) \ket{j}\geq \varepsilon$ or $\bra{i} f(A) \ket{j}\leq -\varepsilon$) is BQP-complete for any continuous function $f(x)$ as long as its approximate degree is large enough. The main techniques we used are the dual polynomial method for functions over the reals, linear semi-infinite programming, and tridiagonal matrices.
• Abstract（参考訳）: A$ を$s$スパースエルミート行列とし、$f(x)$ を単変数関数とし、$i, j$ を2つの指標とする。 本研究では,$\bra{i} f(A) \ket{j}$を近似する際のクエリ複雑性について検討する。 任意の連続関数 $f(x):[-1,1]\rightarrow [-1,1]$ に対して、計算の量子クエリ複雑性 $\bra{i} f(A) \ket{j}\pm \varepsilon/4$ は $\Omega(\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ で下界であることが示される。 上界は、少なくとも$\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$において二次的であり、$A$上のある穏やかな仮定の下で$\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$において線型である。 ここで、近似次数 $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ は、その次数の多項式が$f$ を加法誤差 $\varepsilon$ の区間 $[-1,1]$ に近似する最小次数である。 また、古典的なクエリの複雑さは、任意の$s\geq 4$に対して$\widetilde{\Omega}((s/2)^{(\widetilde{\deg}_{2\varepsilon}(f)-1)/6})$で制限される。 この結果は、スパースエルミート行列の任意の連続関数に対して量子的および古典的分離が指数関数であることを示し、また、スパースエルミート行列の滑らかな関数を量子特異値変換によって実装する最適性を示している。 もう一つの難しい結果として、入出力推定問題(例えば、$\bra{i} f(A) \ket{j}\geq \varepsilon$ or $\bra{i} f(A) \ket{j}\leq -\varepsilon$)が任意の連続函数に対して BQP 完全であることが示される。 私たちが使った主な手法は、実数上の関数に対する双対多項式法、線形半無限計画法、および三角行列である。

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