論文の概要: WoSNN: Stochastic Solver for PDEs with Machine Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.00204v1
• Date: Fri, 29 Aug 2025 19:28:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-04 15:17:03.127125
• Title: WoSNN: Stochastic Solver for PDEs with Machine Learning
• Title（参考訳）: WoSNN: マシンラーニングによるPDEの確率的解法
• Authors: Silei Song, Arash Fahim, Michael Mascagni,
• Abstract要約: 我々は楕円偏微分方程式を解く新しい解法WoS-NNを開発した。 WoS-NNは、メッシュレスで不規則な領域に対して堅牢であるなど、オリジナルのWoS法から優れた特性を継承している。 典型的な実験結果から,提案手法が精度の高いフィールド推定を行うことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Solving elliptic partial differential equations (PDEs) is a fundamental step in various scientific and engineering studies. As a classic stochastic solver, the Walk-on-Spheres (WoS) method is a well-established and efficient algorithm that provides accurate local estimates for PDEs. In this paper, by integrating machine learning techniques with WoS and space discretization approaches, we develop a novel stochastic solver, WoS-NN. This new method solves elliptic problems with Dirichlet boundary conditions, facilitating precise and rapid global solutions and gradient approximations. The method inherits excellent characteristics from the original WoS method, such as being meshless and robust to irregular regions. By integrating neural networks, WoS-NN also gives instant local predictions after training without re-sampling, which is especially suitable for intense requests on a static region. A typical experimental result demonstrates that the proposed WoS-NN method provides accurate field estimations, reducing errors by around $75\%$ while using only $8\%$ of path samples compared to the conventional WoS method, which saves abundant computational time and resource consumption.
• Abstract（参考訳）: 楕円偏微分方程式 (PDE) の解法は、様々な科学・工学研究における基本的なステップである。 古典的確率解法として、ウォーク・オン・スフェース(WoS)法は、PDEの正確な局所推定値を提供する、よく確立された効率的なアルゴリズムである。 本稿では,機械学習技術とWoSと空間離散化手法を組み合わせることにより,新しい確率分解器WoS-NNを開発した。 本手法はディリクレ境界条件による楕円問題の解法であり, 高精度で迅速な大域的解法と勾配近似を容易にする。 この方法は、メッシュレスで不規則な領域に対して堅牢であるなど、元のWoS法から優れた特性を継承する。 ニューラルネットワークを統合することで、WoS-NNはトレーニング後の即時ローカル予測を再サンプリングせずに提供する。 典型的な実験結果から,提案手法は精度の高いフィールド推定が可能であり,従来のWoS法と比較して,経路サンプルの8\%しか使用せず,誤差を約75\%削減できることがわかった。

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