論文の概要: Solving partial differential equations with sampled neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.20836v1
• Date: Fri, 31 May 2024 14:24:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-06-03 14:18:09.517104
• Title: Solving partial differential equations with sampled neural networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いた偏微分方程式の解法
• Authors: Chinmay Datar, Taniya Kapoor, Abhishek Chandra, Qing Sun, Iryna Burak, Erik Lien Bolager, Anna Veselovska, Massimo Fornasier, Felix Dietrich,
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)に対する解の近似は計算科学や工学において重要な問題である。 データに依存しない確率分布から、アンザッツネットワークの隠れた重みとバイアスをサンプリングすることで、両課題を進展させる方法について論じる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.8590821261905535
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Approximation of solutions to partial differential equations (PDE) is an important problem in computational science and engineering. Using neural networks as an ansatz for the solution has proven a challenge in terms of training time and approximation accuracy. In this contribution, we discuss how sampling the hidden weights and biases of the ansatz network from data-agnostic and data-dependent probability distributions allows us to progress on both challenges. In most examples, the random sampling schemes outperform iterative, gradient-based optimization of physics-informed neural networks regarding training time and accuracy by several orders of magnitude. For time-dependent PDE, we construct neural basis functions only in the spatial domain and then solve the associated ordinary differential equation with classical methods from scientific computing over a long time horizon. This alleviates one of the greatest challenges for neural PDE solvers because it does not require us to parameterize the solution in time. For second-order elliptic PDE in Barron spaces, we prove the existence of sampled networks with $L^2$ convergence to the solution. We demonstrate our approach on several time-dependent and static PDEs. We also illustrate how sampled networks can effectively solve inverse problems in this setting. Benefits compared to common numerical schemes include spectral convergence and mesh-free construction of basis functions.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)に対する解の近似は計算科学や工学において重要な問題である。 ニューラルネットワークを解のアンザッツとして使うことは、トレーニング時間と近似精度の点で難しいことが証明されている。 本稿では,データ非依存およびデータ依存確率分布からアンザッツネットワークの隠れ重みとバイアスをサンプリングすることにより,両課題を進展させる方法について論じる。 ほとんどの例では、ランダムサンプリングスキームは、数桁のトレーニング時間と精度に関して、物理インフォームドニューラルネットワークの反復的、勾配に基づく最適化よりも優れています。 時間依存型PDEでは、空間領域のみに神経基底関数を構築し、それに関連する常微分方程式を科学計算の古典的手法で長い時間的地平線上で解く。 これにより、時間内に解をパラメータ化する必要がなくなるため、ニューラルPDEソルバの最大の課題の1つが軽減される。 バロン空間における二階楕円型PDEに対して、この解に$L^2$収束したサンプルネットワークの存在を証明する。 いくつかの時間依存型および静的PDEに対するアプローチを実証する。 また,本設定における逆問題に対して,サンプルネットワークが効果的に解決する方法について述べる。 一般的な数値スキームと比較しての利点は、スペクトル収束と基底関数のメッシュフリーな構成である。

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