論文の概要: Quantum algorithms for general nonlinear dynamics based on the Carleman embedding

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.07155v1
• Date: Mon, 08 Sep 2025 19:09:05 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-10 14:38:27.092562
• Title: Quantum algorithms for general nonlinear dynamics based on the Carleman embedding
• Title（参考訳）: カールマン埋め込みに基づく一般非線形力学の量子アルゴリズム
• Authors: David Jennings, Kamil Korzekwa, Matteo Lostaglio, Andrew T Sornborger, Yigit Subasi, Guoming Wang,
• Abstract要約: 効率的な量子アルゴリズムは、従来よりもはるかに幅広い非線形系に対して存在することを示す。 また、ポアンカー・デュラックの定理とカー行列の対角化に関するいくつかの結果を得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5272147028897476
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Important nonlinear dynamics, such as those found in plasma and fluid systems, are typically hard to simulate on classical computers. Thus, if fault-tolerant quantum computers could efficiently solve such nonlinear problems, it would be a transformative change for many industries. In a recent breakthrough [Liu et al., PNAS 2021], the first efficient quantum algorithm for solving nonlinear differential equations was constructed, based on a single condition $R<1$, where $R$ characterizes the ratio of nonlinearity to dissipation. This result, however, is limited to the class of purely dissipative systems with negative log-norm, which excludes application to many important problems. In this work, we correct technical issues with this and other prior analysis, and substantially extend the scope of nonlinear dynamical systems that can be efficiently simulated on a quantum computer in a number of ways. Firstly, we extend the existing results from purely dissipative systems to a much broader class of stable systems, and show that every quadratic Lyapunov function for the linearized system corresponds to an independent $R$-number criterion for the convergence of the Carlemen scheme. Secondly, we extend our stable system results to physically relevant settings where conserved polynomial quantities exist. Finally, we provide extensive results for the class of non-resonant systems. With this, we are able to show that efficient quantum algorithms exist for a much wider class of nonlinear systems than previously known, and prove the BQP-completeness of nonlinear oscillator problems of exponential size. In our analysis, we also obtain several results related to the Poincar\'{e}-Dulac theorem and diagonalization of the Carleman matrix, which could be of independent interest.
• Abstract（参考訳）: プラズマや流体システムに見られるような重要な非線形力学は、古典的なコンピュータではシミュレーションが難しい。 したがって、フォールトトレラントな量子コンピュータがそのような非線形問題を効率的に解くことができれば、多くの業界にとって変革的変化となる。 最近のブレークスルー (Liu et al , PNAS 2021] において、非線形微分方程式を解くための最初の効率的な量子アルゴリズムが構築された。 しかし、この結果は、負の対数ノルムを持つ純粋に散逸する系のクラスに限られており、多くの重要な問題への応用を除外している。 本研究では, これや他の先行解析による技術的問題を補正し, 量子コンピュータ上で効率的にシミュレートできる非線形力学系の範囲を大幅に拡張する。 まず、純粋散逸系からより広範な安定系のクラスへ既存の結果を拡張し、線型化系に対するすべての二次リアプノフ函数が、カルメンスキームの収束に対する独立な$R$-数規準に対応することを示す。 第2に、安定なシステムの結果を、保存された多項式量が存在する物理的に関連性のある設定に拡張する。 最後に、非共鳴系のクラスに対して広範な結果を提供する。 これにより、従来よりもはるかに広い非線形系のクラスに効率的な量子アルゴリズムが存在することを示すことができ、指数サイズの非線形発振器問題のBQP完全性を証明することができる。 この分析では、ポアンカル・デ・デュラックの定理やカールマン行列の対角化に関するいくつかの結果も得られる。

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