論文の概要: Towards a category-theoretic foundation of Classical and Quantum Information Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.10262v1
• Date: Fri, 12 Sep 2025 14:04:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-15 16:03:08.114902
• Title: Towards a category-theoretic foundation of Classical and Quantum Information Geometry
• Title（参考訳）: 古典・量子情報幾何学のカテゴリー論的基礎に向けて
• Authors: Florio M. Ciaglia, Fabio Di Cosmo, Laura González-Bravo,
• Abstract要約: 対象を W$ast$-algebras と正規状態のペアとする圏 $mathsfNCP$ を導入する。 古典的および量子統計モデルが,対称性を考慮した$mathsfNCP$のサブカテゴリとして実現可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We introduce the category $\mathsf{NCP}$, whose objects are pairs of W$^\ast$-algebras and normal states and whose morphisms are state-preserving unital completely positive (CPU) maps, as a common stage for classical and quantum information geometry, and we formulate two results that will appear in forthcoming works. First, we recast the problem of classifying admissible Riemannian geometries on classical and quantum statistical models in terms of functors $\mathfrak{C}:\mathsf{NCP}\to\mathsf{Hilb}$.These functors provide a generalization of classical statistical covariance, and we call them fields of covariances. A prominent example being the so-called GNS functor arising from the Gelfand-Naimark-Segal (GNS) construction. The classification of fields of covariances on $\mathsf{NCP}$ entails both \v{C}encov's uniqueness of the Fisher-Rao metric tensor and Petz's classification of monotone quantum metric tensors as particular cases. Then, we show how classical and quantum statistical models can be realized as subcategories of $\mathsf{NCP}$ in a way that takes into account symmetries. In this setting, the fields of covariances determine Riemannian metric tensors on the model that reduce to the Fisher-Rao, Fubini-Study, and Bures-Helstrom metric tensor in particular cases.
• Abstract（参考訳）: 対象が W$^\ast$-algebras と正規状態のペアであり、射が状態保存された単元正(CPU)写像であるような圏 $\mathsf{NCP}$ を古典的および量子的情報幾何学の共通段階として導入し、今後の研究で現れる2つの結果を定式化する。 まず、古典的および量子統計モデル上で可許容リーマン幾何学を分類する問題を関手$\mathfrak{C}:\mathsf{NCP}\to\mathsf{Hilb}$で再検討する。 これらの関手は古典的統計共分散の一般化を与え、これらを共分散の場と呼ぶ。 著名な例として、ゲルファント・ナイマルク・セガル (GNS) 構造から生じるいわゆる GNS 関手がある。 $\mathsf{NCP}$ 上の共変場の分類は、フィッシャー・ラオ計量テンソルの \v{C}encov の特異性と、ペッツの単調量子計量テンソルの特別な場合の分類の両方を含む。 次に、古典的および量子統計モデルが、対称性を考慮した$\mathsf{NCP}$のサブカテゴリとして実現可能であることを示す。 この設定において、共分散の場は、特に場合においてフィッシャー・ラオ、フビニ・スタディ、ビュール・ヘルストロム計量テンソルに還元されるモデル上のリーマン計量テンソルを決定する。

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