論文の概要: Contextuality, Holonomy and Discrete Fiber Bundles in Group-Valued Boltzmann Machines
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.10536v1
- Date: Fri, 05 Sep 2025 15:07:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-09-21 06:05:45.79598
- Title: Contextuality, Holonomy and Discrete Fiber Bundles in Group-Valued Boltzmann Machines
- Title（参考訳）: 群値ボルツマンマシンにおけるコンテキスト性、ホロノミーおよび離散ファイバー束
- Authors: Jean-Pierre Magnot,
- Abstract要約: 本稿では,制限付きボルツマンマシン(RBM)の幾何学的拡張を提案する。
この一般化は、射影変換、スピノルダイナミクス、関数対称性を含む複雑な関係構造のモデリングを可能にする。
この研究の中心的な貢献は、RBMグラフのサイクルに沿って計算されたグループ値のホロノミーに基づくエンフコンテクスト性指数の導入である。
この指数は局所重みによって誘導される大域的不整合または「曲率」を定量化し、コヒーレンス、一貫性、幾何学的平坦性の古典的概念を一般化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We propose a geometric extension of restricted Boltzmann machines (RBMs) by allowing weights to take values in abstract groups such as \( \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \), \( \mathrm{SU}(2) \), or even infinite-dimensional operator groups. This generalization enables the modeling of complex relational structures, including projective transformations, spinor dynamics, and functional symmetries, with direct applications to vision, language, and quantum learning. A central contribution of this work is the introduction of a \emph{contextuality index} based on group-valued holonomies computed along cycles in the RBM graph. This index quantifies the global inconsistency or "curvature" induced by local weights, generalizing classical notions of coherence, consistency, and geometric flatness. We establish links with sheaf-theoretic contextuality, gauge theory, and noncommutative geometry, and provide numerical and diagrammatic examples in both finite and infinite dimensions. This framework opens novel directions in AI, from curvature-aware learning architectures to topological regularization in uncertain or adversarial environments.
- Abstract（参考訳）: 制限ボルツマンマシン(RBMs)の幾何学的拡張は、( \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \)、( \mathrm{SU}(2) \)、あるいは無限次元作用素群のような抽象群において重みが値を取ることを可能にする。
この一般化により、射影変換、スピノルダイナミクス、機能対称性を含む複雑な関係構造のモデリングが可能となり、視覚、言語、量子学習に直接応用できる。
この研究の中心的な貢献は、RBMグラフのサイクルに沿って計算された群値ホロノミーに基づく \emph{contextuality index} の導入である。
この指数は局所重みによって誘導される大域的不整合あるいは「曲率」を定量化し、コヒーレンス、一貫性、幾何学的平坦性の古典的概念を一般化する。
我々は、層理論的文脈性、ゲージ理論、非可換幾何学とのリンクを確立し、有限次元と無限次元の両方で数値的および図式的な例を提供する。
このフレームワークは、曲率を意識した学習アーキテクチャから、不確実あるいは敵対的な環境でのトポロジ的正規化に至るまで、AIの新たな方向性を開く。
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