論文の概要: Learning Singularity-Encoded Green's Functions with Application to Iterative Methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.11580v1
• Date: Mon, 15 Sep 2025 04:53:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-16 17:26:23.150465
• Title: Learning Singularity-Encoded Green's Functions with Application to Iterative Methods
• Title（参考訳）: 特異性符号化グリーン関数の学習と反復法への応用
• Authors: Qi Sun, Shengyan Li, Bowen Zheng, Lili Ju, Xuejun Xu,
• Abstract要約: グリーン関数は、楕円偏微分方程式の理論解析と数値解法の間に固有の関係を与える。 グリーン関数の数値計算は、その二重次元性と固有の特異性のため、依然として困難である。 教師なしの方法でこれらの問題を解くための特異性符号化学習手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.746390638014956
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Green's function provides an inherent connection between theoretical analysis and numerical methods for elliptic partial differential equations, and general absence of its closed-form expression necessitates surrogate modeling to guide the design of effective solvers. Unfortunately, numerical computation of Green's function remains challenging due to its doubled dimensionality and intrinsic singularity. In this paper, we present a novel singularity-encoded learning approach to resolve these problems in an unsupervised fashion. Our method embeds the Green's function within a one-order higher-dimensional space by encoding its prior estimate as an augmented variable, followed by a neural network parametrization to manage the increased dimensionality. By projecting the trained neural network solution back onto the original domain, our deep surrogate model exploits its spectral bias to accelerate conventional iterative schemes, serving either as a preconditioner or as part of a hybrid solver. The effectiveness of our proposed method is empirically verified through numerical experiments with two and four dimensional Green's functions, achieving satisfactory resolution of singularities and acceleration of iterative solvers.
• Abstract（参考訳）: グリーン関数は楕円偏微分方程式の理論解析と数値解法の間に固有の関係を持ち、その閉形式式が存在しないことは、効果的な解法の設計を導くために代理モデルを必要とする。 残念なことに、グリーン関数の数値計算は、その二重次元性と本質的な特異性のために難しいままである。 本稿では,これらの問題を教師なしの方法で解決するための特異性符号化学習手法を提案する。 本手法では, 1次高次元空間にグリーン関数を埋め込み, 先行推定値を拡張変数としてエンコードし, 続いてニューラルネットワークのパラメトリゼーションにより次元の増大を管理する。 トレーニングされたニューラルネットワークソリューションを元のドメインに投影することで、私たちのディープサロゲートモデルは、そのスペクトルバイアスを利用して、プリコンディショナーまたはハイブリッドソルバの一部として、従来の反復スキームを加速します。 提案手法の有効性は, 2次元と4次元のグリーン関数を用いた数値実験により実証的に検証し,特異点の良好な解法と反復解法の高速化を実現した。

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