論文の概要: Exact Solutions to the Quantum Schrödinger Bridge Problem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.25980v1
• Date: Tue, 30 Sep 2025 09:11:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-01 17:09:04.485883
• Title: Exact Solutions to the Quantum Schrödinger Bridge Problem
• Title（参考訳）: 量子シュレーディンガー橋問題への厳密解
• Authors: Mykola Bordyuh, Djork-Arné Clevert, Marco Bertolini,
• Abstract要約: 量子シュリンガーブリッジ問題(Quantum Schr"odinger Bridge Problem、QSBP)は、2つの任意の確率分布の間の過程の進化を記述する。 結果として生じる進化方程式は、その過程における非局所性の概念を表すいわゆるボームポテンシャル(量子ポテンシャル)を含むことを示す。 ガウス混合モデルに基づく修正アルゴリズムを提案し,その有効性を実験的に検証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2480327833037226
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The Quantum Schr\"odinger Bridge Problem (QSBP) describes the evolution of a stochastic process between two arbitrary probability distributions, where the dynamics are governed by the Schr\"odinger equation rather than by the traditional real-valued wave equation. Although the QSBP is known in the mathematical literature, we formulate it here from a Lagrangian perspective and derive its main features in a way that is particularly suited to generative modeling. We show that the resulting evolution equations involve the so-called Bohm (quantum) potential, representing a notion of non-locality in the stochastic process. This distinguishes the QSBP from classical stochastic dynamics and reflects a key characteristic typical of quantum mechanical systems. In this work, we derive exact closed-form solutions for the QSBP between Gaussian distributions. Our derivation is based on solving the Fokker-Planck Equation (FPE) and the Hamilton-Jacobi Equation (HJE) arising from the Lagrangian formulation of dynamical Optimal Transport. We find that, similar to the classical Schr\"odinger Bridge Problem, the solution to the QSBP between Gaussians is again a Gaussian process; however, the evolution of the covariance differs due to quantum effects. Leveraging these explicit solutions, we present a modified algorithm based on a Gaussian Mixture Model framework, and demonstrate its effectiveness across several experimental settings, including single-cell evolution data, image generation, molecular translation and applications in Mean-Field Games.
• Abstract（参考訳）: 量子シュリンガーブリッジ問題(Quantum Schr\"odinger Bridge Problem, QSBP)は、2つの任意の確率分布の間の確率過程の進化を記述している。 QSBPは数学の文献で知られているが、ここではラグランジアンの観点から定式化し、生成的モデリングに特に適した方法で主な特徴を導出する。 結果として生じる進化方程式は、確率過程における非局所性の概念を表すいわゆるボームポテンシャル(量子ポテンシャル)を含むことを示す。 これはQSBPと古典確率力学を区別し、量子力学の典型的な特徴を反映している。 本研究では、ガウス分布間のQSBPの正確な閉形式解を導出する。 我々の導出は、動的最適輸送のラグランジアン定式化から生じるFokker-Planck Equation (FPE) と Hamilton-Jacobi Equation (HJE) を解くことに基づいている。 古典的なシュリンガーブリッジ問題と同様に、ガウス間のQSBPの解は再びガウス過程であるが、共分散の進化は量子効果によって異なる。 これらの明示的な解を活用することで、ガウス混合モデルフレームワークに基づくアルゴリズムを改良し、単一セルの進化データ、画像生成、分子翻訳、平均フィールドゲームにおける応用など、様々な実験環境において有効性を示す。

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