論文の概要: Computing moment polytopes - with a focus on tensors, entanglement and matrix multiplication

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.08336v1
• Date: Thu, 09 Oct 2025 15:23:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-10 17:54:15.16135
• Title: Computing moment polytopes - with a focus on tensors, entanglement and matrix multiplication
• Title（参考訳）: モーメントポリトープの計算 -テンソル, 絡み合い, 行列乗算に着目して-
• Authors: Maxim van den Berg, Matthias Christandl, Vladimir Lysikov, Harold Nieuwboer, Michael Walter, Jeroen Zuiddam,
• Abstract要約: 量子情報において、モーメント・ポリトープは単一粒子量子境界問題の枠組みを提供し、絡み合いの幾何学的特徴を提供する。 我々はフランツの数学的記述に基づいてテンソルのモーメントポリトープを計算する新しいアルゴリズムを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.1021364569486214
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Tensors are fundamental in mathematics, computer science, and physics. Their study through algebraic geometry and representation theory has proved very fruitful in the context of algebraic complexity theory and quantum information. In particular, moment polytopes have been understood to play a key role. In quantum information, moment polytopes (also known as entanglement polytopes) provide a framework for the single-particle quantum marginal problem and offer a geometric characterization of entanglement. In algebraic complexity, they underpin quantum functionals that capture asymptotic tensor relations. More recently, moment polytopes have also become foundational to the emerging field of scaling algorithms in computer science and optimization. Despite their fundamental role and interest from many angles, much is still unknown about these polytopes, and in particular for tensors beyond $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ and $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ only sporadically have they been computed. We give a new algorithm for computing moment polytopes of tensors (and in fact moment polytopes for the general class of reductive algebraic groups) based on a mathematical description by Franz (J. Lie Theory 2002). This algorithm enables us to compute moment polytopes of tensors of dimension an order of magnitude larger than previous methods, allowing us to compute with certainty, for the first time, all moment polytopes of tensors in $\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3$, and with high probability those in $\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4$ (which includes the $2\times 2$ matrix multiplication tensor). We discuss how these explicit moment polytopes have led to several new theoretical directions and results.
• Abstract（参考訳）: テンソルは数学、計算機科学、物理学の基本である。 代数幾何学と表現論による研究は、代数複雑性理論と量子情報の文脈において非常に実りあることが証明されている。 特に、モーメントポリトープは重要な役割を担っていると理解されている。 量子情報において、モーメント・ポリトープ(英: moment polytopes)またはエンタングルメント・ポリトープ(英: entanglement polytopes)は、単一粒子量子境界問題の枠組みであり、エンタングルメントの幾何学的特徴を提供する。 代数的複雑性において、それらは漸近テンソル関係を捉える量子汎関数の基盤となる。 近年、モーメント・ポリトープはコンピュータ科学と最適化におけるスケーリングアルゴリズムの新たな分野の基礎にもなっている。 特に $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ と $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ は散発的に計算されるのみである。 我々はフランツ(J. Lie Theory 2002)の数学的記述に基づいてテンソルのモーメント・ポリトープ(実のモーメント・ポリトープ)を計算するための新しいアルゴリズムを与える。 このアルゴリズムはテンソルの次元の次数のテンソルのモーメント・ポリトープを計算し、初めてテンソルのすべてのモーメント・ポリトープを$\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3\otimes\mathbb{C}^3$で計算し、高い確率で$\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4\otimes\mathbb{C}^4$で計算する。 これらの明示的なモーメントポリトープが、どのようにしていくつかの新しい理論的な方向と結果をもたらしたかについて論じる。

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