論文の概要: Explicit non-free tensors
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.22650v1
- Date: Fri, 28 Mar 2025 17:38:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-31 15:30:50.042853
- Title: Explicit non-free tensors
- Title（参考訳）: 明示的な非自由テンソル
- Authors: Maxim van den Berg, Matthias Christandl, Vladimir Lysikov, Harold Nieuwboer, Michael Walter, Jeroen Zuiddam,
- Abstract要約: 我々は、非自由テンソルが$mathbbCn otimes mathbbCn otimes mathbbCn$ に存在することを証明している。
テンソル $T$ が自由ならば、そのテンソル $S$ が GL-orbit closure of $T$ に存在し、そのサポートは自由で、モーメントマップイメージは、モーメントポリトープの最小ノルム点である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.1593341358400737
- License:
- Abstract: Free tensors are tensors which, after a change of bases, have free support: any two distinct elements of its support differ in at least two coordinates. They play a distinguished role in the theory of bilinear complexity, in particular in Strassen's duality theory for asymptotic rank. Within the context of quantum information theory, where tensors are interpreted as multiparticle quantum states, freeness corresponds to a type of multiparticle Schmidt decomposition. In particular, if a state is free in a given basis, the reduced density matrices are diagonal. Although generic tensors in $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ are non-free for $n \geq 4$ by parameter counting, no explicit non-free tensors were known until now. We solve this hay in a haystack problem by constructing explicit tensors that are non-free for every $n \geq 3$. In particular, this establishes that non-free tensors exist in $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$, where they are not generic. To establish non-freeness, we use results from geometric invariant theory and the theory of moment polytopes. In particular, we show that if a tensor $T$ is free, then there is a tensor $S$ in the GL-orbit closure of $T$, whose support is free and whose moment map image is the minimum-norm point of the moment polytope of $T$. This implies a reduction for checking non-freeness from arbitrary basis changes of $T$ to unitary basis changes of $S$. The unitary equivariance of the moment map can then be combined with the fact that tensors with free support have diagonal moment map image, in order to further restrict the set of relevant basis changes.
- Abstract（参考訳）: 自由テンソル(英: free tensor)は、基底の変化の後に自由支持を持つテンソルであり、そのサポートの任意の2つの異なる要素は、少なくとも2つの座標で異なる。
それらは双線型複雑性の理論、特に漸近的ランクに対するストラッセンの双対性理論において顕著な役割を果たしている。
テンソルを多粒子量子状態として解釈する量子情報理論の文脈において、自由度は多粒子シュミット分解の一種に対応する。
特に、ある状態が与えられた基底で自由ならば、還元密度行列は対角線である。
$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ の一般テンソルは、パラメータカウントにより$n \geq 4$ の非自由であるが、これまで明示的な非自由テンソルは知られていない。
この干し草は、すべての$n \geq 3$に対して自由でない明示的なテンソルを構築することで、干し草の問題を解決する。
特に、これは非自由テンソルが $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ に存在することを証明している。
非自由性を確立するために、幾何学的不変理論とモーメント・ポリトープの理論の結果を用いる。
特に、テンソル$T$が自由ならば、GL軌道閉包の$T$に$S$が存在し、そのサポートは自由であり、モーメントマップイメージはモーメントポリトープの最小ノルム点である。
これは、$T$の任意の基底変更から$S$のユニタリ基底変更への非自由性チェックの削減を意味する。
すると、モーメント写像のユニタリ同値は、関連する基底変化の集合をさらに制限するために、自由サポートを持つテンソルが対角モーメント写像像を持つという事実と結合することができる。
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