論文の概要: On the Structure of Stationary Solutions to McKean-Vlasov Equations with Applications to Noisy Transformers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.20094v2
• Date: Mon, 27 Oct 2025 17:12:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 15:28:14.494416
• Title: On the Structure of Stationary Solutions to McKean-Vlasov Equations with Applications to Noisy Transformers
• Title（参考訳）: マッキーン・ブラソフ方程式の定常解の構造と雑音変換器への応用について
• Authors: Krishnakumar Balasubramanian, Sayan Banerjee, Philippe Rigollet,
• Abstract要約: 円上のマッキーン・ブラソフ方程式の定常解について研究する。 我々の主な貢献は、定常マッキーン・ブラソフ方程式とフーリエ係数上の方程式の無限次元二次系の間の解の正確な等価性を観察することにある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.75933108960865
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study stationary solutions of McKean-Vlasov equations on the circle. Our main contributions stem from observing an exact equivalence between solutions of the stationary McKean-Vlasov equation and an infinite-dimensional quadratic system of equations over Fourier coefficients, which allows explicit characterization of the stationary states in a sequence space rather than a function space. This framework provides a transparent description of local bifurcations, characterizing their periodicity, and resonance structures, while accommodating singular potentials. We derive analytic expressions that characterize the emergence, form and shape (supercritical, critical, subcritical or transcritical) of bifurcations involving possibly multiple Fourier modes and connect them with discontinuous phase transitions. We also characterize, under suitable assumptions, the detailed structure of the stationary bifurcating solutions that are accurate upto an arbitrary number of Fourier modes. At the global level, we establish regularity and concavity properties of the free energy landscape, proving existence, compactness, and coexistence of globally minimizing stationary measures, further identifying discontinuous phase transitions with points of non-differentiability of the minimum free energy map. As an application, we specialize the theory to the Noisy Mean-Field Transformer model, where we show how changing the inverse temperature parameter $\beta$ affects the geometry of the infinitely many bifurcations from the uniform measure. We also explain how increasing $\beta$ can lead to a rich class of approximate multi-mode stationary solutions which can be seen as `metastable states'. Further, a sharp transition from continuous to discontinuous (first-order) phase behavior is observed as $\beta$ increases.
• Abstract（参考訳）: 円上のマッキーン・ブラソフ方程式の定常解について研究する。 我々の主な貢献は、定常マッキーン・ブラソフ方程式の解とフーリエ係数上の無限次元二次方程式の解の正確な等価性を観察することであり、これは函数空間ではなく、列空間における定常状態の明示的な特徴づけを可能にする。 この枠組みは局所分岐を透過的に記述し、周期性や共鳴構造を特徴づけ、特異ポテンシャルを調節する。 我々は,複数のフーリエモードを含む分岐の出現,形態,形状(超臨界,臨界,亜臨界,超臨界)を特徴付ける解析式を導出し,不連続相転移と接続する。 また、適切な仮定の下では、任意の数のフーリエモードまで正確な定常分岐解の詳細な構造を特徴づける。 世界レベルでは、自由エネルギーランドスケープの正則性と凹凸性を確立し、世界最小化定常測度の存在、コンパクト性、共存性を証明し、最小自由エネルギーマップの非微分可能性の点で不連続相転移を同定する。 応用として、この理論をノイズ平均場変換モデルに特化し、逆温度パラメータの$\beta$の変化が、一様測度から無限に多くの分岐の幾何学にどのように影響するかを示す。 さらに、$\beta$の増加が、'可塑性状態'と見ることができるような、近似的マルチモード定常解のリッチなクラスにつながることを説明している。 さらに、連続から不連続(一階)相の挙動への急激な遷移は、$\beta$が増加するにつれて観察される。

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