論文の概要: HEATNETs: Explainable Random Feature Neural Networks for High-Dimensional Parabolic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.00886v1
• Date: Sun, 02 Nov 2025 10:50:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-05 16:37:26.981423
• Title: HEATNETs: Explainable Random Feature Neural Networks for High-Dimensional Parabolic PDEs
• Title（参考訳）: HEATNETs:高次元パラボリックPDEのための説明可能なランダム特徴ニューラルネットワーク
• Authors: Kyriakos Georgiou, Gianluca Fabiani, Constantinos Siettos, Athanasios N. Yannacopoulos,
• Abstract要約: ランダム特徴(投影)ニューラルネットワーク(RFNN)を用いた高次元放物型PDEの前方問題の解法について検討する。 まず、熱演算子の基本解(グリーン関数)から生じるランダム化熱カーネルを持つ単一隠れ層ニューラルネットワークが存在することを証明し、HEATNETと呼ぶ。 我々は、任意の高次元放物型PDEの効率的な数値解に対して、HEATNETをいかにスケールアップできるかを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We deal with the solution of the forward problem for high-dimensional parabolic PDEs with random feature (projection) neural networks (RFNNs). We first prove that there exists a single-hidden layer neural network with randomized heat-kernels arising from the fundamental solution (Green's functions) of the heat operator, that we call HEATNET, that provides an unbiased universal approximator to the solution of parabolic PDEs in arbitrary (high) dimensions, with the rate of convergence being analogous to the ${O}(N^{-1/2})$, where $N$ is the size of HEATNET. Thus, HEATNETs are explainable schemes, based on the analytical framework of parabolic PDEs, exploiting insights from physics-informed neural networks aided by numerical and functional analysis, and the structure of the corresponding solution operators. Importantly, we show how HEATNETs can be scaled up for the efficient numerical solution of arbitrary high-dimensional parabolic PDEs using suitable transformations and importance Monte Carlo sampling of the integral representation of the solution, in order to deal with the singularities of the heat kernel around the collocation points. We evaluate the performance of HEATNETs through benchmark linear parabolic problems up to 2,000 dimensions. We show that HEATNETs result in remarkable accuracy with the order of the approximation error ranging from $1.0E-05$ to $1.0E-07$ for problems up to 500 dimensions, and of the order of $1.0E-04$ to $1.0E-03$ for 1,000 to 2,000 dimensions, with a relatively low number (up to 15,000) of features.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ランダムな特徴(投影)ニューラルネットワーク(RFNN)を用いた高次元放物型PDEの前方問題の解法について述べる。 まず、熱演算子の基本解(グリーン関数)から生じるランダム化熱カーネルを持つ単一隠れ層ニューラルネットワークが存在することを証明し、これはHEATNETと呼ばれ、任意の(高)次元の放物型PDEの解に対する非バイアスの普遍近似器であり、収束の速度は${O}(N^{-1/2})$と類似しており、$N$はHEATNETのサイズである。 このように、HEATNETはパラボリックPDEの分析フレームワークに基づいた説明可能なスキームであり、数値的および関数的解析によって支援された物理インフォームドニューラルネットワークの洞察と対応する解演算子の構造を利用する。 重要なことに, HEATNET は任意の高次元放物型PDE の効率的な数値解に対して, 適切な変換と重要度を用いて, 解の積分表現をモンテカルロサンプリングすることにより, 配位点周辺の熱核の特異点に対処できることを示す。 ベンチマーク線形パラボラ問題を用いて最大2000次元のHEATNETの性能を評価する。 HEATNET は,500次元までの問題に対して$1.0E-05$から$1.0E-07$,1000次元から2,000次元の$1.0E-04$から$1.0E-03$まで,比較的少ない(最大15,000)特徴を持つ近似誤差の順序で著しく精度が向上することを示す。

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