論文の概要: Simultaneous Optimization of Geodesics and Fréchet Means

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.04301v1
• Date: Thu, 06 Nov 2025 12:08:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-07 20:17:53.411479
• Title: Simultaneous Optimization of Geodesics and Fréchet Means
• Title（参考訳）: 測地学とフレシェ平均の同時最適化
• Authors: Frederik Möbius Rygaard, Søren Hauberg, Steen Markvorsen,
• Abstract要約: 幾何学統計学の中心的な部分は、Fr'echet平均を計算することである。 本稿では,Fr'echet平均とリーマン距離を同時計算するGEORCE-FMアルゴリズムを提案する。 我々はGEORCE-FMが大域収束と局所二次収束を持ち、適応拡張がFr'echet平均に収束することを証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.807982858405056
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A central part of geometric statistics is to compute the Fr\'echet mean. This is a well-known intrinsic mean on a Riemannian manifold that minimizes the sum of squared Riemannian distances from the mean point to all other data points. The Fr\'echet mean is simple to define and generalizes the Euclidean mean, but for most manifolds even minimizing the Riemannian distance involves solving an optimization problem. Therefore, numerical computations of the Fr\'echet mean require solving an embedded optimization problem in each iteration. We introduce the GEORCE-FM algorithm to simultaneously compute the Fr\'echet mean and Riemannian distances in each iteration in a local chart, making it faster than previous methods. We extend the algorithm to Finsler manifolds and introduce an adaptive extension such that GEORCE-FM scales to a large number of data points. Theoretically, we show that GEORCE-FM has global convergence and local quadratic convergence and prove that the adaptive extension converges in expectation to the Fr\'echet mean. We further empirically demonstrate that GEORCE-FM outperforms existing baseline methods to estimate the Fr\'echet mean in terms of both accuracy and runtime.
• Abstract（参考訳）: 幾何学統計学の中心的な部分は、Fr\'echet平均を計算することである。 これはリーマン多様体上のよく知られた固有平均であり、平均点から他のすべてのデータ点への平方リーマン距離の和を最小化する。 Fr\'echet 平均はユークリッド平均の定義と一般化が簡単であるが、ほとんどの多様体ではリーマン距離を最小化することさえ最適化問題を解くことである。 したがって、Fr'echet平均の数値計算では、各イテレーションに埋め込まれた最適化問題を解く必要がある。 本稿では,Fr'echet平均とリーマン距離を局所チャートで同時計算するGEORCE-FMアルゴリズムを提案する。 我々は、アルゴリズムをフィンスラー多様体に拡張し、GEORCE-FMが大量のデータポイントにスケールするように適応的な拡張を導入する。 理論的には、GEORCE-FMが大域収束と局所二次収束を持ち、適応拡大がFr'echet平均に収束することを証明している。 さらに、GEORCE-FMはFr'echet平均を精度と実行時間の両方で推定するために既存のベースライン法よりも優れていることを実証的に示す。

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