論文の概要: Resolving Sharp Gradients of Unstable Singularities to Machine Precision via Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.22819v1
• Date: Fri, 28 Nov 2025 00:42:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-01 19:47:55.736118
• Title: Resolving Sharp Gradients of Unstable Singularities to Machine Precision via Neural Networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークによる不安定特異性のシャープ勾配の高精度化
• Authors: Yongji Wang, Tristan Léger, Ching-Yao Lai, Tristan Buckmaster,
• Abstract要約: 最近の研究は、組込み数学構造、高度な最適化、ニューラルネットワークアーキテクチャを組み合わせた堅牢な計算フレームワークを導入している。 この枠組みは、非圧縮性多孔体メディア (IPM) や 2D Boussinesq システムなど、主要な流体力学方程式に対する不安定な自己相似解の発見につながった。 この枠組みはこれらの特異点の存在を裏付けるものであるが、1D Crdoba-Crdoba-Fontelosモデルの安定および1次不安定解に対して、ダブルフロートマシン精度に近づく精度レベルが達成された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0360290387805817
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Recent work introduced a robust computational framework combining embedded mathematical structures, advanced optimization, and neural network architecture, leading to the discovery of multiple unstable self-similar solutions for key fluid dynamics equations, including the Incompressible Porous Media (IPM) and 2D Boussinesq systems. While this framework confirmed the existence of these singularities, an accuracy level approaching double-float machine precision was only achieved for stable and 1st unstable solutions of the 1D Córdoba-Córdoba-Fontelos model. For highly unstable solutions characterized by extreme gradients, the accuracy remained insufficient for validation. The primary obstacle is the presence of sharp solution gradients. Those gradients tend to induce large, localized PDE residuals during training, which not only hinder convergence, but also obscure the subtle signals near the origin required to identify the correct self-similar scaling parameter lambda of the solutions. In this work, we introduce a gradient-normalized PDE residual re-weighting scheme to resolve the high-gradient challenge while amplifying the critical residual signals at the origin for lambda identification. Coupled with the multi-stage neural network architecture, the PDE residuals are reduced to the level of round-off error across a wide spectrum of unstable self-similar singularities previously discovered. Furthermore, our method enables the discovery of new highly unstable singularities, i.e. the 4th unstable solution for IPM equations and a novel family of highly unstable solitons for the Nonlinear Schrödinger equations. This results in achieving high-gradient solutions with high precision, providing an important ingredient for bridging the gap between numerical discovery and computer-assisted proofs for unstable phenomena in nonlinear PDEs.
• Abstract（参考訳）: 最近の研究は、組込み数学的構造、高度な最適化、ニューラルネットワークアーキテクチャを組み合わせた堅牢な計算フレームワークを導入し、非圧縮性ポーラスメディア(IPM)や2Dブーシネスクシステムなど、主要な流体力学方程式に対する不安定な自己相似解の発見につながった。 この枠組みはこれらの特異点の存在を確認したが、1Dコルドバ-コルドバ-フォンテロスモデルの安定かつ第一の不安定解に対して、ダブルフロートマシン精度に近づく精度レベルが達成された。 極度の勾配を特徴とする高度に不安定な解に対して、精度は検証に不十分なままであった。 主な障害は鋭い解勾配の存在である。 これらの勾配は、トレーニング中に大きな局所的なPDE残基を誘導する傾向があり、これは収束を妨げるだけでなく、解の正しい自己相似スケーリングパラメータラムダを特定するのに必要な原点付近の微妙な信号も隠蔽する。 本研究では,ラムダ同定の起点における臨界残差信号を増幅しつつ,高次課題を解決するための勾配正規化PDE残差重み付け手法を提案する。 多段階ニューラルネットワークアーキテクチャと組み合わせて、PDE残差は、以前に発見された不安定な自己相似特異点の幅広いスペクトルにわたるラウンドオフ誤差のレベルに還元される。 さらに, 非線形シュレーディンガー方程式に対する4番目の不安定解と, 非線形シュレーディンガー方程式に対する新しい不安定ソリトンを発見できる。 その結果, 非線形PDEにおける不安定現象の数値的発見と計算機支援による証明のギャップを埋めるための重要な要素となる。

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