論文の概要: Derivative-Informed Fourier Neural Operator: Universal Approximation and Applications to PDE-Constrained Optimization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.14086v1
• Date: Tue, 16 Dec 2025 04:54:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-17 16:49:26.591651
• Title: Derivative-Informed Fourier Neural Operator: Universal Approximation and Applications to PDE-Constrained Optimization
• Title（参考訳）: 微分インフォームドフーリエニューラル演算子:普遍近似とPDE制約最適化への応用
• Authors: Boyuan Yao, Dingcheng Luo, Lianghao Cao, Nikola Kovachki, Thomas O'Leary-Roseberry, Omar Ghattas,
• Abstract要約: 微分インフォームドフーリエニューラル演算子(DIFNO)の近似理論と効率的な学習法を提案する。 DIFNOは、高忠実度演算子の出力とフレシェ微分サンプルを併用して予測誤差を最小化する。 演算子学習や無限次元PDE制約逆問題の解法において,DIFNOがより優れていることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9236074230806578
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present approximation theories and efficient training methods for derivative-informed Fourier neural operators (DIFNOs) with applications to PDE-constrained optimization. A DIFNO is an FNO trained by minimizing its prediction error jointly on output and Fréchet derivative samples of a high-fidelity operator (e.g., a parametric PDE solution operator). As a result, a DIFNO can closely emulate not only the high-fidelity operator's response but also its sensitivities. To motivate the use of DIFNOs instead of conventional FNOs as surrogate models, we show that accurate surrogate-driven PDE-constrained optimization requires accurate surrogate Fréchet derivatives. Then, for continuously differentiable operators, we establish (i) simultaneous universal approximation of FNOs and their Fréchet derivatives on compact sets, and (ii) universal approximation of FNOs in weighted Sobolev spaces with input measures that have unbounded supports. Our theoretical results certify the capability of FNOs for accurate derivative-informed operator learning and accurate solution of PDE-constrained optimization. Furthermore, we develop efficient training schemes using dimension reduction and multi-resolution techniques that significantly reduce memory and computational costs for Fréchet derivative learning. Numerical examples on nonlinear diffusion--reaction, Helmholtz, and Navier--Stokes equations demonstrate that DIFNOs are superior in sample complexity for operator learning and solving infinite-dimensional PDE-constrained inverse problems, achieving high accuracy at low training sample sizes.
• Abstract（参考訳）: 微分インフォームドフーリエニューラル演算子(DIFNOs)の近似理論と効率的な訓練法とPDE制約最適化への応用について述べる。 DIFNOは、高忠実度演算子(例えばパラメトリックPDE解演算子)の出力とフレシェ微分サンプルを併用して予測誤差を最小化する訓練されたFNOである。 その結果、DIFNOは高忠実度演算子の応答だけでなく、感度も密にエミュレートできる。 従来のFNOの代わりにDIFNOをサロゲートモデルとして利用するためには、正確なサロゲート駆動型PDE制約最適化が正確なサロゲートフレシェ微分を必要とすることを示す。 そして、連続的な微分可能作用素に対して、我々は確立する。 i)コンパクト集合上のFNOとそのフレシェ微分の同時普遍近似 2) 加重ソボレフ空間におけるFNOの普遍近似と、非有界な支持をもつ入力測度 我々の理論的結果は、微分インフォームド演算子学習のためのFNOの能力とPDE制約最適化の正確な解を証明している。 さらに,Fréchet微分学習におけるメモリと計算コストを大幅に削減する次元削減と多分解能技術を用いた効率的な学習手法を開発した。 非線形拡散-反応、ヘルムホルツ、ナヴィエ-ストークス方程式の数値的な例は、DIFNOsが演算子学習や無限次元PDE制約された逆問題の解法に優れていることを証明し、低トレーニングサンプルサイズで高い精度を達成する。

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