論文の概要: The Geometry of Abstraction: Continual Learning via Recursive Quotienting

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.18471v1
• Date: Sat, 20 Dec 2025 19:10:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-23 18:54:32.353731
• Title: The Geometry of Abstraction: Continual Learning via Recursive Quotienting
• Title（参考訳）: 抽象の幾何学:再帰的論理による継続的な学習
• Authors: Xin Li,
• Abstract要約: 連続学習システムは、平面多様体問題という基本的な幾何学的障壁に直面している。 本稿では,このパラドックスに対して,再帰的計量の縮約に基づく幾何学的解法を提案する。 ニューラルネットワークのトークンは特異点やワームホールとして物理的に実現可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.0044467881527614
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: Continual learning systems operating in fixed-dimensional spaces face a fundamental geometric barrier: the flat manifold problem. When experience is represented as a linear trajectory in Euclidean space, the geodesic distance between temporal events grows linearly with time, forcing the required covering number to diverge. In fixed-dimensional hardware, this volume expansion inevitably forces trajectory overlap, manifesting as catastrophic interference. In this work, we propose a geometric resolution to this paradox based on Recursive Metric Contraction. We formalize abstraction not as symbolic grouping, but as a topological deformation: a quotient map that collapses the metric tensor within validated temporal neighborhoods, effectively driving the diameter of local sub-manifolds to zero. We substantiate our framework with four rigorous results. First, the Bounded Capacity Theorem establishes that recursive quotient maps allow the embedding of arbitrarily long trajectories into bounded representational volumes, trading linear metric growth for logarithmic topological depth. Second, the Topological Collapse Separability Theorem, derived via Urysohn's Lemma, proves that recursive quotienting renders non-linearly separable temporal sequences linearly separable in the limit, bypassing the need for infinite-dimensional kernel projections. Third, the Parity-Partitioned Stability Theorem solves the catastrophic forgetting problem by proving that if the state space is partitioned into orthogonal flow and scaffold manifolds, the metric deformations of active learning do not disturb the stability of stored memories. Our analysis reveals that tokens in neural architectures are physically realizable as singularities or wormholes, regions of extreme positive curvature that bridge distant points in the temporal manifold.
• Abstract（参考訳）: 固定次元空間で動作する連続学習システムは、平面多様体問題という基本的な幾何学的障壁に直面している。 ユークリッド空間において経験が線形軌跡として表されるとき、時空事象間の測地距離は時間とともに直線的に増加し、必要な被覆数はばらばらになる。 固定次元ハードウェアでは、この体積拡大は必然的に軌道の重なりを強制し、破滅的な干渉として現れる。 本研究では,このパラドックスに対する再帰的メートル法契約に基づく幾何学的解法を提案する。 我々は抽象を記号的群化ではなく、位相的変形として定式化し、検証された時間近傍で計量テンソルを崩壊させ、局所部分多様体の直径をゼロに駆動する商写像を定式化する。 4つの厳格な結果で我々の枠組みを裏付ける。 第一に、境界容量定理は、帰納的商写像により、任意の長い軌跡を有界な表現体積に埋め込むことができ、対数的位相深さの線形計量成長を貿易することができることを証明している。 第二に、UrysohnのLemmaによって導かれたトポロジカル・コラプス・セパビリティ・セオリームは、再帰的商化が無限次元の核射影の必要性を回避し、極限において線形に分離可能な非線型な時間列を描画することを証明している。 第三に、Parity-Partitioned Stability Theoremは、状態空間が直交フローと足場多様体に分割されている場合、アクティブラーニングのメートル法変形が記憶記憶の安定性を乱さないことを証明して、破滅的な忘れ問題を解く。 解析の結果, ニューラルネットワークのトークンは特異点やワームホールとして物理的に実現可能であることが明らかとなった。

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