論文の概要: Riemannian Zeroth-Order Gradient Estimation with Structure-Preserving Metrics for Geodesically Incomplete Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.08039v1
• Date: Mon, 12 Jan 2026 22:08:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-14 18:27:18.968129
• Title: Riemannian Zeroth-Order Gradient Estimation with Structure-Preserving Metrics for Geodesically Incomplete Manifolds
• Title（参考訳）: 測地的不完全多様体に対する構造保存計量を用いたリーマン零次勾配推定
• Authors: Shaocong Ma, Heng Huang,
• Abstract要約: 測地的に完備な測度を構築し、新しい測度の下での静止点が元の測度の下で定常であることを保証する。 構成された計量$g'$の下の$-固定点もまた、元の計量$g'$の下の$-定常点に対応する。 実用的なメッシュ最適化タスクの実験は、測地的完全性がない場合でも、我々のフレームワークが安定した収束を維持することを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 57.179679246370114
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper, we study Riemannian zeroth-order optimization in settings where the underlying Riemannian metric $g$ is geodesically incomplete, and the goal is to approximate stationary points with respect to this incomplete metric. To address this challenge, we construct structure-preserving metrics that are geodesically complete while ensuring that every stationary point under the new metric remains stationary under the original one. Building on this foundation, we revisit the classical symmetric two-point zeroth-order estimator and analyze its mean-squared error from a purely intrinsic perspective, depending only on the manifold's geometry rather than any ambient embedding. Leveraging this intrinsic analysis, we establish convergence guarantees for stochastic gradient descent with this intrinsic estimator. Under additional suitable conditions, an $ε$-stationary point under the constructed metric $g'$ also corresponds to an $ε$-stationary point under the original metric $g$, thereby matching the best-known complexity in the geodesically complete setting. Empirical studies on synthetic problems confirm our theoretical findings, and experiments on a practical mesh optimization task demonstrate that our framework maintains stable convergence even in the absence of geodesic completeness.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、リーマン計量$g$が測地的に不完全であるような設定におけるリーマン零次最適化について検討し、この不完全計量に関して定常点を近似することを目的とする。 この課題に対処するために、新しい計量の下の全ての定常点が元の測度の下で静止し続けることを保証しながら、測地的に完備な構造保存測度を構築する。 この基礎の上に構築し、古典対称二点ゼロ階推定器を再検討し、その平均二乗誤差を純粋に本質的な視点から解析する。 この本質的解析を応用し、本本質的推定器を用いて確率的勾配降下の収束保証を確立する。 さらに適切な条件下では、構成された計量 $g'$ の下の$ε$-定常点もまた元の計量 $g$ の下の$ε$-定常点に対応しており、したがって測地的に完備な設定において最もよく知られた複雑性と一致する。 合成問題に関する実証的研究は,我々の理論的知見を裏付けるものであり,実用的なメッシュ最適化タスクの実験は,測地的完全性が欠如していても,我々のフレームワークが安定的な収束を維持することを実証している。

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