論文の概要: Identifying latent distances with Finslerian geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.10010v2
• Date: Wed, 11 Oct 2023 17:51:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-16 04:23:00.871995
• Title: Identifying latent distances with Finslerian geometry
• Title（参考訳）: フィンスラー幾何学による潜在距離の同定
• Authors: Alison Pouplin, David Eklund, Carl Henrik Ek, S{\o}ren Hauberg
• Abstract要約: 生成モデルにより、データ空間と測地学は最も非現実的であり、操作が不可能である。 本研究では,引き戻し距離の期待値が明示的に最小となる別の測度を提案する。 高次元では、どちらの測度も$Oleft(frac1Dright)$の速度で収束することが証明される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.0188611984807245
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Riemannian geometry provides us with powerful tools to explore the latent space of generative models while preserving the underlying structure of the data. The latent space can be equipped it with a Riemannian metric, pulled back from the data manifold. With this metric, we can systematically navigate the space relying on geodesics defined as the shortest curves between two points. Generative models are often stochastic, causing the data space, the Riemannian metric, and the geodesics, to be stochastic as well. Stochastic objects are at best impractical, and at worst impossible, to manipulate. A common solution is to approximate the stochastic pullback metric by its expectation. But the geodesics derived from this expected Riemannian metric do not correspond to the expected length-minimising curves. In this work, we propose another metric whose geodesics explicitly minimise the expected length of the pullback metric. We show this metric defines a Finsler metric, and we compare it with the expected Riemannian metric. In high dimensions, we prove that both metrics converge to each other at a rate of $O\left(\frac{1}{D}\right)$. This convergence implies that the established expected Riemannian metric is an accurate approximation of the theoretically more grounded Finsler metric. This provides justification for using the expected Riemannian metric for practical implementations.
• Abstract（参考訳）: リーマン幾何学は、データの基本構造を維持しながら生成モデルの潜在空間を探索するための強力なツールを提供する。 潜在空間は、データ多様体から引き戻されたリーマン計量を備えることができる。 この計量により、2つの点の間の最短曲線として定義される測地線に依存する空間を体系的にナビゲートすることができる。 生成モデルはしばしば確率的であり、データ空間、リーマン計量、測地学も確率的である。 確率的物体は、最も非現実的で、最悪の場合、操作が不可能である。 一般的な解決策は、確率的引き戻し計量をその期待値で近似することである。 しかし、この期待リーマン計量から導かれる測地線は、期待長最小曲線とは一致しない。 本研究では,引き戻し距離の期待値が明示的に最小となる別の測度を提案する。 この計量がフィンスラー計量を定義することを示し、期待されたリーマン計量と比較する。 高次元では、両方の測度が$O\left(\frac{1}{D}\right)$で収束することが証明される。 この収束は、確立された期待リーマン計量が理論上より接地されたフィンスラー計量の正確な近似であることを意味する。 これは実際的な実装に期待されるリーマン計量を使うことの正当化を提供する。

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