論文の概要: Operator learning on domain boundary through combining fundamental solution-based artificial data and boundary integral techniques

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.11222v1
• Date: Fri, 16 Jan 2026 12:00:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-19 20:21:50.480326
• Title: Operator learning on domain boundary through combining fundamental solution-based artificial data and boundary integral techniques
• Title（参考訳）: 基本解に基づく人工データと境界積分技術を組み合わせたドメイン境界の演算子学習
• Authors: Haochen Wu, Heng Wu, Benzhuo Lu,
• Abstract要約: 既知の基本解を持つ線形偏微分方程式に対しては、新しい演算子学習フレームワークを導入する。 完全なドメインサンプリングではなく、ソリューション値や通常のデリバティブを含むドメイン境界データにのみ依存する。 本稿では,この手法を,境界-境界間マッピングを学習するMAD-BNO(Mathematical Artificial Data boundary Neural Operator)と呼ぶ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.3529349900185395
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: For linear partial differential equations with known fundamental solutions, this work introduces a novel operator learning framework that relies exclusively on domain boundary data, including solution values and normal derivatives, rather than full-domain sampling. By integrating the previously developed Mathematical Artificial Data (MAD) method, which enforces physical consistency, all training data are synthesized directly from the fundamental solutions of the target problems, resulting in a fully data-driven pipeline without the need for external measurements or numerical simulations. We refer to this approach as the Mathematical Artificial Data Boundary Neural Operator (MAD-BNO), which learns boundary-to-boundary mappings using MAD-generated Dirichlet-Neumann data pairs. Once trained, the interior solution at arbitrary locations can be efficiently recovered through boundary integral formulations, supporting Dirichlet, Neumann, and mixed boundary conditions as well as general source terms. The proposed method is validated on benchmark operator learning tasks for two-dimensional Laplace, Poisson, and Helmholtz equations, where it achieves accuracy comparable to or better than existing neural operator approaches while significantly reducing training time. The framework is naturally extensible to three-dimensional problems and complex geometries.
• Abstract（参考訳）: この研究は、既知の基本解を持つ線形偏微分方程式に対して、完全な領域サンプリングではなく、解値や正規微分を含む領域境界データにのみ依存する新しい演算子学習フレームワークを導入する。 物理一貫性を強制する以前に開発された数学的人工データ(MAD)メソッドを統合することで、すべてのトレーニングデータは、対象問題の基本解から直接合成され、外部測定や数値シミュレーションを必要とせずに、完全なデータ駆動パイプラインが実現される。 この手法を,MAD-生成したディリクレ-ノイマンデータペアを用いて境界-境界マッピングを学習するMAD-BNO(Mathematical Artificial Data boundary Neural Operator)と呼ぶ。 一度訓練すると、任意の位置における内部解は、ディリクレ、ノイマン、混合境界条件および一般元条件をサポートする境界積分定式化(英語版)によって効率的に回復することができる。 提案手法は,2次元ラプラス,ポアソン,ヘルムホルツ方程式のベンチマーク演算子学習タスクにおいて,既存のニューラル演算子に匹敵する精度を達成し,トレーニング時間を著しく短縮する。 この枠組みは自然に三次元問題や複雑な幾何学に拡張可能である。

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