論文の概要: Diffeomorphic Latent Neural Operators for Data-Efficient Learning of Solutions to Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.18014v2
• Date: Fri, 29 Nov 2024 18:57:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-02 11:38:04.459093
• Title: Diffeomorphic Latent Neural Operators for Data-Efficient Learning of Solutions to Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式に対する解の効率的なデータ学習のための微分型潜在ニューラル演算子
• Authors: Zan Ahmad, Shiyi Chen, Minglang Yin, Avisha Kumar, Nicolas Charon, Natalia Trayanova, Mauro Maggioni,
• Abstract要約: 計算された解演算子から偏微分方程式系(PDE)への近似は、科学や工学の様々な分野において必要である。 十分なデータのサンプル化を必要とせず,複数の領域にまたがって一般化可能なPDEソリューション演算子を学習するために,少数の真理解場に潜伏したニューラル演算子を訓練することができることを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.308435208832696
• License:
• Abstract: A computed approximation of the solution operator to a system of partial differential equations (PDEs) is needed in various areas of science and engineering. Neural operators have been shown to be quite effective at predicting these solution generators after training on high-fidelity ground truth data (e.g. numerical simulations). However, in order to generalize well to unseen spatial domains, neural operators must be trained on an extensive amount of geometrically varying data samples that may not be feasible to acquire or simulate in certain contexts (e.g., patient-specific medical data, large-scale computationally intensive simulations.) We propose that in order to learn a PDE solution operator that can generalize across multiple domains without needing to sample enough data expressive enough for all possible geometries, we can train instead a latent neural operator on just a few ground truth solution fields diffeomorphically mapped from different geometric/spatial domains to a fixed reference configuration. Furthermore, the form of the solutions is dependent on the choice of mapping to and from the reference domain. We emphasize that preserving properties of the differential operator when constructing these mappings can significantly reduce the data requirement for achieving an accurate model due to the regularity of the solution fields that the latent neural operator is training on. We provide motivating numerical experimentation that demonstrates an extreme case of this consideration by exploiting the conformal invariance of the Laplacian
• Abstract（参考訳）: 計算された解演算子から偏微分方程式系(PDE)への近似は、科学や工学の様々な分野において必要である。 ニューラルネットワークは、高忠実度基底真理データ(例えば数値シミュレーション)をトレーニングした後、これらの解生成物を予測するのに非常に効果的であることが示されている。 しかし、空間的領域をうまく一般化するためには、特定のコンテキスト(例えば、患者固有の医療データ、大規模に計算集約的なシミュレーションなど)で取得またはシミュレートできないような、幾何的に変化するデータサンプルを大量にトレーニングする必要がある。 さらに、解の形式は参照領域への写像の選択に依存する。 これらの写像を構成する際の微分演算子の保存特性は、潜在神経演算子が訓練している解場の正則性により、精度の高いモデルを実現するためのデータ要求を著しく低減することができることを強調する。 我々は、ラプラシアンの共形不変性を利用して、この考察の極端な事例を示す動機付き数値実験を提供する。

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