論文の概要: Logarithmic Density of Rank $\geq 1$ and Rank $\geq 2$ Genus-2 Jacobians and Applications to Hyperelliptic Curve Cryptography

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.17142v1
• Date: Fri, 23 Jan 2026 19:40:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-27 15:23:07.305048
• Title: Logarithmic Density of Rank $\geq 1$ and Rank $\geq 2$ Genus-2 Jacobians and Applications to Hyperelliptic Curve Cryptography
• Title（参考訳）: ランクの対数密度$\geq 1$およびランク$\geq 2$ Genus-2 ヤコビアンとその超楕円曲線暗号への応用
• Authors: Razvan Barbulescu, Mugurel Barcau, Vicentiu Pasol, George C. Turcas,
• Abstract要約: ヤコビアンがモルデル=ヴェイユランクを少なくとも1ドルまたは2ドル以上持つような$mathbbQ$上の種数2$曲線の存在結果について研究する。 ヤコビアンが$r geq 2$で、条件のない対数密度が少なくとも5/7$であるような大きな明示的な亜科を提示する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this work we study quantitative existence results for genus-$2$ curves over $\mathbb{Q}$ whose Jacobians have Mordell-Weil rank at least $1$ or $2$, ordering the curves by the naive height of their integral Weierstrass models. We use geometric techniques to show that asymptotically the Jacobians of almost all integral models with two rational points at infinity have rank $r \geq 1$. Since there are $\asymp X^{\frac{13}{2}}$ such models among the $X^7$ curves $y^2=f(x)$ of height $\leq X$, this yields a lower bound of logarithmic density $13/14$ for the subset of rank $r \geq 1$. We further present a large explicit subfamily where Jacobians have ranks $r \geq 2$, yielding an unconditional logarithmic density of at least $5/7$. Independently, we give a construction of genus-$2$ curves with split Jacobian and rank $2$, producing a subfamily of logarithmic density at least $ 2/21$. Finally, we analyze quadratic and biquadratic twist families in the split-Jacobian setting, obtaining a positive proportion of rank-$2$ twists. These results have implications for Regev's quantum algorithm in hyperelliptic curve cryptography.
• Abstract（参考訳）: この研究において、ヤコビアンがモルデル=ヴェイユランクを少なくとも1ドルまたは2ドル以上持つような$\mathbb{Q}$上の種数-$2$曲線の量的存在結果を研究し、それらの積分ワイエルシュトラスモデルの素高さによって曲線を順序付ける。 我々は幾何学的手法を用いて、無限大の二つの有理点を持つほぼすべての積分モデルのヤコビアンが階数$r \geq 1$であることを示す。 X^7$曲線の中に、$\asymp X^{\frac{13}{2}}$のようなモデルが存在するので、$y^2=f(x)$ of height $\leq X$ であるので、階数 $r \geq 1$ の部分集合に対して、対数密度の低い境界となる。 さらに、ヤコビアンが$r \geq 2$で、条件のない対数密度が少なくとも5/7$であるような大きな明示的な亜科を提示する。 独立に、分岐ヤコビアンとランクが 2$ の属 2$ の曲線の構成を与え、少なくとも 2/21$ の対数密度の亜族を生成する。 最後に、分割・ヤコビアンセッティングにおける2次および2次ツイスト族を解析し、2$ツイストの正の比率を得る。 これらの結果は、超楕円曲線暗号におけるRegevの量子アルゴリズムに影響を及ぼす。

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