論文の概要: Elementary Quantum Gates from Lie Group Embeddings in $U(2^n)$: Geometry, Universality, and Discretization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.17936v1
• Date: Sun, 25 Jan 2026 18:19:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-27 15:23:08.550925
• Title: Elementary Quantum Gates from Lie Group Embeddings in $U(2^n)$: Geometry, Universality, and Discretization
• Title（参考訳）: U(2^n)$:幾何、普遍性、離散化におけるリー群埋め込みからの初等量子ゲート
• Authors: Antonio Falco, Daniela Falco-Pomares, Hermann G. Matthies,
• Abstract要約: 我々は、$Emb(SU(2),U(N))$が有限個の$U(N)$-同次層に分解され、同型多重度によってインデックスされることを示す。 また、位相自由$langlemathcalGSU_mathrm2lvl(n)rangle=SU(N)$、従って$langlemathcalGSU_mathrmelem(n)rangle=SU(N)$を証明します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In the standard circuit model, elementary gates are specified relative to a chosen tensor factorization and are therefore extrinsic to the ambient group $U(2^n)$. Writing $N=2^n$, we introduce an intrinsic descriptor layer in $U(N)$ by declaring as primitive the motions inside faithful embedded copies of $SU(2)$, leading to the phase-free dictionary $\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{elem}}(n)=\bigcup_{φ\in\Emb(SU(2),U(N))}φ(SU(2))$, and we also discuss the phase-inclusive $U(2)$ variant. We show that $\Emb(SU(2),U(N))$ decomposes into finitely many $U(N)$-homogeneous strata indexed by isotypic multiplicities, with stabilizers given by centralizers; the canonical two-level sector is organized by $\Gr_2(\C^N)$ up to a $PSU(2)$ gauge. Equipping $U(N)$ with the Hilbert--Schmidt bi-invariant metric, each embedded subgroup is totally geodesic. Using two-level QR/Givens factorization together with an explicit generation of diagonal tori by two-level phase rotations, we prove phase-free universality $\langle\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{2lvl}}(n)\rangle=SU(N)$ and hence $\langle\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{elem}}(n)\rangle=SU(N)$. Full universality in $U(N)$ follows by adjoining the abelian diagonal/global $U(1)$ factors (equivalently, by passing to the $U(2)$ two-level dictionary). Finally, we record a modular finite-alphabet interface by lifting Solovay--Kitaev approximation in $SU(2)$ through two-level embeddings.
• Abstract（参考訳）: 標準回路モデルでは、基本ゲートは選択されたテンソル因子化に比例して指定され、したがって周囲群$U(2^n)$に比例する。 N=2^n$ と書くと、$U(N)$ に固有の記述子層を導入し、$SU(2)$ の忠実な埋め込みコピー内の運動をプリミティブとして宣言し、フェーズフリー辞書 $\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{elem}}(n)=\bigcup_{φ\in\Emb(SU(2),U(N))}φ(SU(2))$ を導出する。 我々は、$\Emb(SU(2),U(N))$が有限個の$U(N)$-均一成層に分解され、中心化子によって安定化器が与えられることを示し、正準二階セクターは$\Gr_2(\C^N)$$$$$$$$$PSU(2)$ gaugeによって構成される。 ヒルベルト-シュミット双不変計量と$U(N)$を積むと、各埋め込み部分群は完全に測地的である。 二段のQR/Givens分解と二段の位相回転による対角トーラスの明示的な生成を用いて、相自由普遍性 $\langle\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{2lvl}}(n)\rangle=SU(N)$ を証明し、従って$\langle\mathcal{G}^{SU}_{\mathrm{elem}}(n)\rangle=SU(N)$ を証明する。 U(N)$ の完全普遍性は、アーベル対角/グロバル $U(1)$ 因子を随伴することによって従う(同値で、$U(2)$ 2-レベル辞書を渡すことで)。 最後に、Solovay--Kitaev近似を2レベル埋め込みを通して$SU(2)$で持ち上げることでモジュラー有限アルファベットインタフェースを記録する。

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