論文の概要: Quaternionic Perfect Sequences and Hadamard Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.22337v1
• Date: Thu, 29 Jan 2026 21:27:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-02 18:28:15.079321
• Title: Quaternionic Perfect Sequences and Hadamard Matrices
• Title（参考訳）: 四元系完全系列とアダマール行列
• Authors: Aidan Bennett, Curtis Bright, Paul Colinot, Ashwin Nayak,
• Abstract要約: ウィリアムソンの四元数型アダマール行列の構成で生じる二進数列と一対一の対応を持つ四元数完全列について検討した。 我々は,このアルゴリズムを実装し,全循環行列と非対称なウィリアムソン型行列を最大21個まで列挙する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.16116932975802
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A finite sequence of numbers is perfect if it has zero periodic autocorrelation after a nontrivial cyclic shift. In this work, we study quaternionic perfect sequences having a one-to-one correspondence with the binary sequences arising in Williamson's construction of quaternion-type Hadamard matrices. Using this correspondence, we devise an enumeration algorithm that is significantly faster than previously used algorithms and does not require the sequences to be symmetric. We implement our algorithm and use it to enumerate all circulant and possibly non-symmetric Williamson-type matrices of orders up to 21; previously, the largest order exhaustively enumerated was 13. We prove that when the blocks of a quaternion-type Hadamard matrix are circulant, the blocks are necessarily pairwise amicable. This dramatically improves the filtering power of our algorithm: in order 20, the number of block pairs needing consideration is reduced by a factor of over 25,000. We use our results to construct quaternionic Hadamard matrices of interest in quantum communication and prove they are not equivalent to those constructed by other means. We also study the properties of quaternionic Hadamard matrices analytically, and demonstrate the feasibility of characterizing quaternionic Hadamard matrices with a fixed pattern of entries. These results indicate a richer set of properties and suggest an abundance of quaternionic Hadamard matrices for sufficiently large orders.
• Abstract（参考訳）: 有限列の数は、非自明な巡回シフトの後に周期的自己相関がゼロであれば完全である。 本研究では,ウィリアムソンの四元数型アダマール行列の構成で生じる二進数列と一対一の対応を持つ四元数完全列について検討する。 この対応を用いて,従来のアルゴリズムよりもはるかに高速かつ対称な列挙アルゴリズムを考案する。 我々は,このアルゴリズムを実装し,全循環行列および非対称なウィリアムソン型行列を最大21桁まで列挙する。 四元数型アダマール行列のブロックが循環可能であるとき、ブロックは必ずしもペアで親和可能であることを証明している。 これによりアルゴリズムのフィルタリング能力は劇的に向上し、20位では考慮を必要とするブロックペアの数が25,000以上削減される。 この結果を用いて、量子通信に関心を持つ四元数アダマール行列を構築し、それらが他の方法で構築されたものと等価でないことを証明した。 また,四元数アダマール行列の特性を解析的に研究し,四元数アダマール行列を一定の成分パターンで特徴づける可能性を示した。 これらの結果は、よりリッチな性質の集合を示し、十分に大きな順序で四元数アダマール行列が豊富に存在することを示唆している。

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