論文の概要: Universal Coefficients and Mayer-Vietoris Sequence for Groupoid Homology

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.08998v1
• Date: Mon, 09 Feb 2026 18:43:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-10 20:26:25.429012
• Title: Universal Coefficients and Mayer-Vietoris Sequence for Groupoid Homology
• Title（参考訳）: Groupoid Homologyにおけるユニバーサル係数とMayer-Vietoris系列
• Authors: Luciano Melodia,
• Abstract要約: 神経のコンパクトなムーア複合体を介し, 両群群について検討した。 この理論は連続エタール準同型(英語版)(continuous étale homomorphisms)の関手である。 コンパクト開集合の基底を持つ局所コンパクト完全非連結ハウスドルフ空間 $X に対して、$_X:C_c(X,mathbb Z)otimes_mathbb ZAto C_c(X,A)$ の像は、ちょうど有限像を持つコンパクト支持函数である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study homology of ample groupoids via the compactly supported Moore complex of the nerve. Let $A$ be a topological abelian group. For $n\ge 0$ set $C_n(\mathcal G;A) := C_c(\mathcal G_n,A)$ and define $\partial_n^A=\sum_{i=0}^n(-1)^i(d_i)_*$. This defines $H_n(\mathcal G;A)$. The theory is functorial for continuous étale homomorphisms. It is compatible with standard reductions, including restriction to saturated clopen subsets. In the ample setting it is invariant under Kakutani equivalence. We reprove Matui type long exact sequences and identify the comparison maps at chain level. For discrete $A$ we prove a natural universal coefficient short exact sequence $$0\to H_n(\mathcal G)\otimes_{\mathbb Z}A\xrightarrow{\ ι_n^{\mathcal G}\ }H_n(\mathcal G;A)\xrightarrow{\ κ_n^{\mathcal G}\ }\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\bigl(H_{n-1}(\mathcal G),A\bigr)\to 0.$$ The key input is the chain level isomorphism $C_c(\mathcal G_n,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\cong C_c(\mathcal G_n,A)$, which reduces the groupoid statement to the classical algebraic UCT for the free complex $C_c(\mathcal G_\bullet,\mathbb Z)$. We also isolate the obstruction for non-discrete coefficients. For a locally compact totally disconnected Hausdorff space $X$ with a basis of compact open sets, the image of $Φ_X:C_c(X,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\to C_c(X,A)$ is exactly the compactly supported functions with finite image. Thus $Φ_X$ is surjective if and only if every $f\in C_c(X,A)$ has finite image, and for suitable $X$ one can produce compactly supported continuous maps $X\to A$ with infinite image. Finally, for a clopen saturated cover $\mathcal G_0=U_1\cup U_2$ we construct a short exact sequence of Moore complexes and derive a Mayer-Vietoris long exact sequence for $H_\bullet(\mathcal G;A)$ for explicit computations.
• Abstract（参考訳）: 我々は、神経のコンパクトに支持されたムーア錯体を介して、アンプルグルーノイドのホモロジーを研究する。 A$ を位相アーベル群とする。 for $n\ge 0$ set $C_n(\mathcal G;A) := C_c(\mathcal G_n,A)$ とし、$\partial_n^A=\sum_{i=0}^n(-1)^i(d_i)_*$ を定義する。 これは$H_n(\mathcal G;A)$を定義する。 この理論は連続エタール準同型(英語版)(continuous étale homomorphisms)の関手である。 飽和クロペンサブセットの制限を含む標準還元と互換性がある。 アンプル設定では、これは角谷同値の下で不変である。 マツイ型長完全列を再現し、連鎖レベルでの比較マップを同定する。 離散$A$に対して、自然普遍係数短完全列 $0\to H_n(\mathcal G)\otimes_{\mathbb Z}A\xrightarrow{\ ι_n^{\mathcal G}\ }H_n(\mathcal G;A)\xrightarrow{\ κ_n^{\mathcal G}\ }\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\bigl(H_{n-1}(\mathcal G),A\bigr)\to 0.$ 鍵入力は鎖準同型 $C_c(\mathcal G_n,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\cong C_c(\mathcal G_n,A) である。 また,非離散係数の障害を分離する。 コンパクト開集合の基底を持つ局所コンパクトな完全非連結ハウスドルフ空間 $X$ に対し、像の像は、ちょうど有限像を持つコンパクトに支持された函数である。 したがって、$\in C_c(X,A)$ のすべての $f\in C_c(X,A)$ が有限像であることと、適切な$X$ に対してコンパクトに支持された連続写像 $X\to A$ を無限像で生成できることは同値である。 最後に、クロペン飽和被覆$\mathcal G_0=U_1\cup U_2$に対して、ムーア錯体の短い完全列を構築し、明示的な計算のために$H_\bullet(\mathcal G;A)$に対してマイヤー・ヴィートリス長完全列を導出する。

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