論文の概要: Topological phases of unitary dynamics: Classification in Clifford category

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.09141v3
• Date: Mon, 23 Dec 2024 12:58:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-24 15:50:58.425755
• Title: Topological phases of unitary dynamics: Classification in Clifford category
• Title（参考訳）: ユニタリダイナミクスの位相位相:クリフォード圏における分類
• Authors: Jeongwan Haah,
• Abstract要約: 量子セルオートマトン (QCA) あるいは因果ユニタリ (Cousal Unitary) は、定義によって局所作用素代数の自己同型である。 クリフォード QCA は、任意のパウリ作用素をパウリ作用素の有限テンソル積に写像するものである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: A quantum cellular automaton (QCA) or a causal unitary is by definition an automorphism of local operator algebra, by which local operators are mapped to local operators. Quantum circuits of small depth, local Hamiltonian evolutions for short time, and translations (shifts) are examples. A Clifford QCA is one that maps any Pauli operator to a finite tensor product of Pauli operators. Here, we obtain a complete table of groups $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ of translation invariant Clifford QCA in any spatial dimension $\mathsf d \ge 0$ modulo Clifford quantum circuits and shifts over prime $p$-dimensional qudits, where the circuits and shifts are allowed to obey only coarser translation invariance. The group $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ is nonzero only for $\mathsf d = 2k+3$ if $p=2$ and $\mathsf d = 4k+3$ if $p$ is odd where~$k \ge 0$ is any integer, in which case $\mathfrak C(\mathsf d,p) \cong \widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)$, the classical Witt group of nonsingular quadratic forms over the finite field $\mathbb F_p$. It is well known that $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_2) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$, $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p) \cong \mathbb Z/4\mathbb Z$ if $p = 3 \bmod 4$, and $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)\cong \mathbb Z/2\mathbb Z \oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$ if $p = 1 \bmod 4$. The classification is achieved by a dimensional descent, which is a reduction of Laurent extension theorems for algebraic $L$-groups of surgery theory in topology.
• Abstract（参考訳）: 量子セルオートマトン (QCA) あるいは因果ユニタリ (Cousal Unitary) は定義によって局所作用素代数の自己同型であり、局所作用素は局所作用素に写像される。 小さな深さの量子回路、短時間の局所ハミルトン進化、変換(シフト)などがその例である。 クリフォード QCA は、任意のパウリ作用素をパウリ作用素の有限テンソル積に写像するものである。 ここでは、任意の空間次元における変換不変量 Clifford QCA の完全テーブル $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ を得る。 群 $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ が 0 でないのは、$\mathsf d = 2k+3$ if $p=2$ and $\mathsf d = 4k+3$ if $p$ is odd where~$k \ge 0$ is any integer, この場合、$\mathfrak C(\mathsf d,p) \cong \widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)$ である。 $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_2) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$, $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p) \cong \mathbb Z/4\mathbb Z$ if $p = 3 \bmod 4$, and $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)\cong \mathbb Z/2\mathbb Z \oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$ if $p = 1 \bmod 4$が知られている。 この分類は、トポロジーにおける手術理論の代数的$L$-群に対するローラン拡張定理の還元である次元降下によって達成される。

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